新教材高中数学人教版必修第一册:5.5《三角恒等变换》精讲(含解析)
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新教材高中数学人教版必修第一册:5.5《三角恒等变换》精讲(含解析)

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资料简介
5.5三角恒等变换思维导图常见考法 考点一两角和差公式【例1】(1)(2020·湖北茅箭·十堰一中月考)cos80sin40sin50cos10的值为()1233A.B.C.D.2222(2)(2020·海南枫叶国际学校高一期中)cos20cos10sin20sin10=()13A.sin10B.cos10C.D.22(3)(2020·四川成都·高一期末)求值:tan25tan353tan25tan35()3A.23B.C.1D.3322(4)(2020·山西高一期中(文))cos15sin195的值为()223131A.B.C.D.2222【答案】(1)C(2)D(3)D(4)A 3【解析】(1)根据诱导公式,化简得sin10cos50sin50cos10sin(1050)sin(60)2所以选C3(2)cos20cos10sin20sin10=cos2010cos30.故选:D2tan25tan35(3)tan60.1tan25tan35tan25tan353tan25tan35tan(2535)(1tan25tan35)3tan25tan35tan603故选:D.2222(4)由题意,得cos15sin195cos15sin(180+15)2222223cos15sin15cos(4515)cos30,故选A.222【一隅三反】1.(2020·安徽蚌埠·高一期末)求值:cos75cos45sin75sin45()1313A.B.C.D.2222【答案】C1【解析】解:cos75cos45sin75sin45cos7545cos120,故选:C.22.(2020·镇原中学高一期末)求值:(1)tan10tan503tan10tan50;3tan15(2).13tan15【答案】(1)3;(2)1.【解析】(1)tan10tan503tan10tan50tan601tan10tan503tan10tan5033tan10tan503tan10tan5033tan15tan60tan15(2).tan6015tan451.13tan151tan60tan15 3.(2020·湖南娄底·高一期末)下列化简正确的是()11A.cos82sin52sin82cos52B.sin15sin30sin7524tan48tan72223C.3D.cos15sin151tan48tan722【答案】C1【解析】对于选项A:cos82sin52sin82cos52sin(5282)sin(30),故A不正确;211对于选项B:sin15sin30sin75sin15cos15sin30sin30sin30,故B不正确;28tan48tan72对于选项C:tan(4872tan1203,故C正确;1tan48tan7222对于选项D:cos15sin151;故D不正确;故选:C考点二给值求值5【例2】(1)(2020·高一期末)已知cos,,0,则tan()52411A.B.3C.13D.333(2)(2020·湖南娄星·高一期末)已知为锐角,且cos(),则sin()65433433334334A.B.C.D.101010101(3)(2020·河南高一月考)若0,,cos,22433cos,则cos()4232535333A.B.C.D.9933【答案】(1)D(2)B(3)D5225sin【解析】(1)cos,,0,sin1cos,tan2,525cos1tan121tan.故选:D41tan123 34(2)∵cos(α)(α为锐角),∴α为锐角,∴sin(α),65665∴sinα=sin[(α)]=sin(α)coscos(α)sin6666664331433,故选B.52521033(3)Q0,,则,,22444242422226sin1cos,sin1cos,44342423因此,coscoscoscossinsin2442442442132263.故选:D.33333给值(式)求值的策略(1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.【一隅三反】311.(2020·山东聊城·高一期末)角的终边与单位圆的交点坐标为(,),将的终边绕原点顺时针旋223转,得到角,则cos()()4626231A.B.C.D.0444【答案】A3113【解析】由角的终边经过点(,),得sin,cos,2222 3因为角的终边是由角的终边顺时针旋转得到的,4333123226所以sinsin()sincoscossin()44422224333321226coscos()coscossinsin()4442222432612662cos()coscossinsin,故选:A.242443π1π2.(2020·江西省铜鼓中学高一期末)已知tan,tan,则tan的值为()5424111111A.B.C.D.713137【答案】B3π1【解析】由tan,tan,54231tantanπ4521tantan.441tant13113an452故选:B33123.(2020·阜新市第二高级中学高一期末)已知,,,sin,sin,则45413cos__________.456【答案】653324【解析】∵,,,∴,2,∴cos=1sin.42531225又,,sin,∴cos()=1sin().4244134413∴cos()cos[()()]cos()cos()sin()sin()4444453125656()().答案:5135136565考点三给值求角 25【例3】(2020·辽宁沈阳·高一期中)已知为锐角,为钝角且cos,tan3,则的5值为()32A.B.C.D.4334【答案】A2525sin1【解析】由为锐角且cos,得sin1cos,则tan,55cos21(3)tantan23则tan()1,又(0,),(,),则(,),得1tantan122221(3)23.故选:A.4先求出问题角的三角函数值,再根据角的范围求出角【一隅三反】1.(2020·全国高三其他(理))已知sinsinasin,若,且0,,则()32A.B.C.D.3236【答案】A【解析】当时,sinsinsin等价于sinsinsin,3333331所以sincos即sin,22262752因为0,,所以,所以,解得.故选:A.6666631532.(2020·湖北东西湖·华中师大一附中高一月考)若cos,sin,0,71420,则角的值为()2 A.B.C.D.4386【答案】B【解析】Q,均为锐角,0,1534311111由cos,sin,得sincos,cos(),若cos(),7147714145311143则sinsin[()]sin()coscos()sin0,14714711与sin0矛盾,故cos(),则1411153431coscos[()]cos()cossin()sin,1471472又(0,),.故选:B.23433.(2020·江西省铜鼓中学高一期末)已知sin,,.722(1)求sin的值;233(2)若sin(a),0,,求的值.14224【答案】(1)sin(2)2734321【解析】(1)因为sin,,,所以cos1sin.72721cos4从而sin.2273(2)因为,,0,,所以,2222213所以cos(a)1sin().14 3311343所以sinsin[()]sin()coscos()sin1471473,∴.23考点四二倍角3【例4】(1)(2020·宁夏原州·高三其他(文))若sin(),则cos2()5247724A.B.C.D.2525252555(2)(2020·全国专题练习(文))计算:coscoscoscos()1212121231A.B.2213C.D.22(3)(2020·赤峰二中高三三模(理))已知角α的终边经过点(-4,-3),则cos(2)()224121224A.B.C.D.25252525【答案】(1)C(2)A(3)A327【解析】(1)sin()sin,cos212sin.故选:C.525(2)552522525coscoscoscoscoscoscoscos12121212121212212252553cossincoscoscos故选:A.121266623(3)因为角α的终边经过点(-4,-3),所以tan4sincostan24所以cos(2)sin22sincos,22,故选:A2222sincostan125【一隅三反】1.(2020·吴起高级中学高一期末)已知角α的终边经过点P(﹣3,1),则cos2α=() 3344A.B.C.D.5555【答案】C33【解析】∵角α的终边经过点P(﹣3,1),∴cosα321210,94则cos2α=2cos2α﹣1=21,故选:C.1052.(2020·山西其他(理))已知12cossin,则tan2()63843A.43B.C.D.0259【答案】C31【解析】因为12cos12cossin63cos6sin,62263所以原式可化为63cos7sin0,所以tan,76322tan7843所以tan222.故选:C.1tan63591713.(2020·四川金牛·高一开学考试(理))设sin,则sin2()447117A.B.C.D.8888【答案】D121121【解析】∵sin∴sincos,(sincos),44242161712sincos,sin22sincos,故选:D.8854.(2020·湖南省高三月考)已知α为锐角,sin,则cos=()2524334A.B.-C.D.5555 【答案】A225【解析】因为α为锐角,所以0,,所以cos1sin,242255254所以cossin2sincos2.故选:A.222555考点五角的拼凑1【例5】(1)(2020·湖北蔡甸·汉阳一中高三其他(理))若sin(),则cos(2)3337227A.B.C.D.933925(2)(2020·湖南娄底·高一期末)已知cos(),则cos(2)的值为()6335115A.B.C.D.9999【答案】(1)A(2)C1【解析】sincoscos323632217cos2cos22cos121故选A36639521(2)由题得cos(2)cos(2)cos[2()]2cos()1.故选:C.33669【一隅三反】11.(2020·安徽高二期末(理))已知sin,则sin2()356223223A.B.C.D.25252525【答案】D223223【解析】因为cos212sin,即cos2,则33253252223sin2sin2cos2.故选:D632325 π2.(2020·全国高三其他(理))已知为第三象限角,且sin222cos2,则sin2的值为()4777272A.B.C.D.10101010【答案】D2sin22212sin225【解析】sin22cos2sin52525由为第三象限角,所以sin,cos1sin,55423所以sin22sincos,cos212sin,55π272所以sin2sin2cos2.故选:D4210433.(2020·全国高三其他(文))设sincos,则cos2()653575777A.B.C.D.25252525【答案】D31433343【解析】依题意,sincoscos,即sincos,则2252251344sincos,即cos,225652167故cos22cos2121,332525故选:D.考点六恒等变化1【例6】(1)(2020·安徽相山·月考(理))2cos50()2tan50132A.1B.C.D.222 22cos51(2)(2020·山西高一期中(理))的值为()sin40cos40A.-1B.-2C.1D.2【答案】(1)C(2)D14sin50cos50cos50【解析】(1)2cos502tan502sin50312sin100cos502sin6040sin402cos402sin40sin40223.2sin502cos402cos402故选:C22cos51cos102cos102cos102cos10(2)2.故选D.sin40cos40sin40cos402sin40cos40sin80cos10三角函数式化简的常用方法:(1)异角化同角:善于发现角之间的差别与联系,合理对角拆分,恰当选择三角公式,能求值的求出值,减少角的个数;(2)异名化同名:统一三角函数名称,利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一;(3)异次化同次:统一三角函数的次数,一般利用降幂公式化高次为低次.【一隅三反】311.(2020·海原县第一中学高一期末)计算:的结果是()cos10sin170A.-4B.-2C.2D.4【答案】A3131【解析】∵cos10sin170cos10sin18010313sin10cos10cos10sin10sin10cos10312sin10cos10222sin1030sin10cos10sin10cos10 2sin204sin201sin204故选A.2sin10cos102sin65sin35cos302.(2018·福建高二期末(文))__________.cos351【答案】2sin65sin35cos30sin3530sin35cos30【解析】cos35cos35sin35cos30cos35sin30sin35cos301sin30.cos3521故答案为:.21cos2013.(2020·全国专题练习(理))sin10tan5_______.2sin20tan53【答案】222cos10cos5sin5cos10【解析】原式sin102cos104sin10cos10sin5cos52sin10cos102sin20cos102sin(3010)cos102sin30cos102cos30sin102sin102sin102sin1033cos30.故答案为:.22

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