新教材高中数学高二上学期期中复习 数学试卷六（含解析）

2021年新教材高二上学期期中复习数学试卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册RJ-A（2019）第一章、第二章、第三章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．若双曲线的一个焦点为，则()。A、B、C、D、【答案】B【解析】由双曲线性质：，，∴，，故选B。2．在三棱锥中，平面平面，，，，，，则的长为()。A、B、C、D、【答案】C【解析】建立以为原点的空间直角坐标系，则，，，∴，故选C。3．若点是直线：外一点，则方程表示()。A、过点且与垂直的直线B、过点且与平行的直线C、不过点且与垂直的直线D、不过点且与平行的直线【答案】D【解析】∵点不在直线：上，∴，∴直线不过点，又直线与直线：平行，故选D。4．已知圆：和两点、，若圆上存在点，使得，则的最小值为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由得点在圆上，因此由两圆有交点得：，即的最小值为，故选A。5．若圆上有且仅有两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为()。 A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意已知圆与圆相交，∴，解得且，故选B。6．如图所示，在三棱锥中，平面，是棱的中点，已知，，，则异面直线与所成角的余弦值为()。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵平面，∴、，过点作，又，则、、两两垂直，如图，以为坐标原点，直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、、、，又为中点，则故，，∴，设异面直线与所成的角为，则，故选C。另解：还原长方体，则，，则异面直线与所成的角为与所成的角即，在中，，，，∴，故选C。7．已知、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、()，若的最小值为，则椭圆的离心率为()。A、B、C、D、【答案】D【解析】设，，则， 可得，，，又时，∴，∴，又∵，∴，故选D。8．已知双曲线(，)与抛物线()有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，，则双曲线的离心率为()。A、B、C、D、【答案】C【解析】由题意知抛物线()的焦点坐标为，准线方程为，由在抛物线的准线上，则，则，则焦点坐标为，∴，则，解得，∴双曲线的渐近线方程是，将代入渐近线的方程，即，则双曲线的离心率为，故选C。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程为()。A、B、C、D、【答案】AC【解析】设所求直线方程为(、不同时为)，显然，当或时，所得直线方程不满足题意，故、均不为，当时，，当时，，根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则， 令，则，整理，得，解得，或，则，或，故所求直线方程为或，故选AC。10．给出下列命题，其中正确的有()。A、空间任意三个向量都可以作为一组基底B、已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底C、、、、是空间四点，若、、不能构空间的一组基底，则、、、共面D、已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间的一组基底【答案】BCD【解析】A选项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故A错，B选项，若，则、与任何向量都共面，故不能构成空间的一组基底，故B对，C选项，若、、不能构空间的一组基底，则、、共面，又、、过相同的点，则、、、四点共面，故C对，D选项，∵是空间向量的一组基底，则、与向量一定不共面，∴也可以构成空间向量的一组基底，故选CBD。11．设抛物线：()的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为()。A、B、C、D、【答案】BD【解析】设，则，则，又，则以为直径的圆的方程为，将代入，得，即，，由得：，解得或，则方程为或，故选BD。12．我们把离心率为的双曲线(，)称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于 、两点，则下列命题正确的是()。A、双曲线是黄金双曲线B、若，则该双曲线是黄金双曲线C、若，则该双曲线是黄金双曲线D、若，则该双曲线是黄金双曲线【答案】BCD【解析】A选项，，不是黄金双曲线；B选项，，化成，即，又，解得，是黄金双曲线；C选项，∵，∴，∴，化简得，由②知是黄金双曲线；D选项，∵，∴轴，，且是等腰，∴，即，由②知是黄金双曲线；综上，BCD是黄金双曲线，故选BCD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为。【答案】【解析】设点关于直线：的对称点为，则反射光线所在直线过点，∴，∴解得，，又反射光线经过点，∴所求直线的方程为，即。14．如图所示，平面，，，，则二面角的余弦值大小为________。【答案】【解析】以点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ∵、、、∴，，，设平面的法向量为，设平面的法向量为，则且，∴可取，，∴。15．抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于、两点，且满足，点为原点，则的面积为。【答案】【解析】如图，由题意可知，，由得，又根据∽可得，即，即，解得，，∴点的坐标为或，∴。16．如图所示，在正四棱柱中，，，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是。【答案】【解析】如图建系，则，，，，设点，，，则，，则，设点，，，则，，则，∴， 则当且仅当、时，线段长度取最小值是。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知圆上一定点，为圆内一点，、为圆上的动点。(1)求线段中点的轨迹方程；(2)若，求线段中点的轨迹方程。【解析】(1)设的中点为，由中点坐标公式可知，点坐标为，2分∵点在圆上，∴，4分故线段中点的轨迹方程为；5分(2)设的中点为，在中，，6分设为坐标原点，连接，则，∴，8分∴，故线段中点的轨迹方程为。10分18．（本小题满分12分）已知点，点是圆：上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点。(1)求点的轨迹方程；(2)若直线与点的轨迹有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围。【解析】(1)由题意知：，，∴，2分∴的轨迹是以、为焦点的椭圆，其轨迹方程为；3分(2)设、，则将直线与椭圆的方程联立得，消去得：5分，由得：，①7分∴，，8分∵原点总在以为直径的圆的内部，∴，即，9分而，∴，10分 即，∴，且满足①式的取值范围是。12分19．（本小题满分12分）如图所示，已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，，为的中点，为的中点。(1)证明：直线平面；(2)求平面和平面所成的锐二面角的余弦值。【解析】(1)证明：由题意可知，三棱柱为直三棱柱，则四边形为矩形，连接交于点，连、，则为和的中点，又∵为的中点，∴，2分又∵为的中点，∴，∴，∴四边形为平行四边形，∴，4分又∵平面，平面，∴平面；5分(2)∵三角形为正三角形，∴，又底面，∴底面，以为原点，、、为、、轴建立直角坐标系，如图建系，6分则，，，，，，7分设平面的法向量为，又，，则，得，令，则，，则，9分又可知平面的法向量为，10分 设平面与平面的夹角的平面角为，则，∴平面和平面所成的锐二面角的余弦值。12分20．（本小题满分12分）已知椭圆：()的左、右顶点分别为、，其离心率，过点的直线与椭圆交于、两点(异于、)，当直线的斜率不存在时，。(1)求椭圆的方程；(2)若直线与交于点，试问：点是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由。【解析】(1)由题意可设椭圆的半焦距为，由题意得：，，，2分解得，，，∴椭圆的方程为：；4分(2)由题意可知直线的倾角不为，设直线的方程为，、，5分联立，由题意可知恒成立，6分由、是上方程的两根可知：，，7分直线的方程为：，直线的方程为：，8分得：，10分把代入得：，11分即，故点恒在定直线上。12分21．（本小题满分12分）如图所示，在多面体中，底面是梯形，，，，底面 ，，，点为的中点，点在线段上。(1)证明：平面；(2)如果直线与平面所成的角的正弦值为，求点的位置。【解析】(1)证明：在梯形中，∵，则，∴，，∴，1分∵点为的中点，∴，∴，2分∴四边形是平行四边形，，∴，3分又∵底面，底面，∴，4分又平面，平面，，∴平面；5分(2)解：以建系，则、、、、，∴，，，6分设()，则，则，，7分设平面的法向量为，由得，8分令得平面的一个法向量为，9分则，解得或(舍)，即，11分∴当点与点重合时直线与平面所成的角的正弦值为。12分22．（本小题满分12分） 已知椭圆：()上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上。(1)求椭圆的方程；(2)过点任作一条直线，与椭圆交于不同于的、两点，与直线：交于点，记直线、、的斜率分别为、、，求证：。【解析】(1)∵椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为、，∴依题意有：，1分∵，∴，故可设椭圆的方程为：，2分∵点在椭圆上，∴将其代入椭圆的方程得，3分∴椭圆的方程为；4分(2)依题意，直线不可能与轴垂直，故可设直线的方程为：，即，5分设与椭圆的两个交点为、，将代入方程化简得：，6分∴恒成立，∴，，7分∴，9分又由，解得，，10分即点的坐标为，∴，11分∴，原命题得证。12分