新教材高中数学高二上学期期中复习 数学试卷四（含解析）

2021年新教材高二上学期期中复习数学试卷（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册RJ-A（2019）第一章、第二章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．直线恒过一定点，则此定点为()。A、B、C、D、【答案】D【解析】直线可变形为：，若该方程对任意都成立，则，即，直线恒过点，故选D。2．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的()。A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，得：，是必要条件，而“”不一定有，也可能，故不是充分条件，故选B。3．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则()。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，∴，则，故选C。4．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为()。A、B、C、D、【答案】B 【解析】∵两条直线与的距离为，∴所求圆的半径为，由得，由得，∴直径的两个端点、，因此圆心坐标，圆的方程为，故选B。5．在边长为的等边三角形中，于，沿折成二面角后，，此时二面角的大小为()。A、B、C、D、【答案】C【解析】就是二面角的平面角，∵，∴，故选C。6．已知平面内的角，射线与、所成角均为，则与平面所成角的余弦值是()。A、B、C、D、【答案】D【解析】由三余弦公式知，∴，故选D。7．在三棱锥中，平面，，，则该棱锥的外接球半径为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由已知建立空间直角坐标系，，，由平面知识得，设球心坐标为，则，由空间两点间距离公式知：，，，解得，，，∴半径为，故选A。8．已知直线：，点，，若直线与线段相交，则 的取值范围为()。A、B、C、D、【答案】C【解析】直线方程变形得：。由得，∴直线恒过点，，，由图可知斜率的取值范围为：或，又，∴或，即或，又时直线的方程为，仍与线段相交，∴的取值范围为，故选C。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知直线经过点，且被两条平行直线：和：截得的线段长为，则直线的方程为()。A、B、C、D、【答案】BC【解析】若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与、的交点分别为，，截得的线段的长，符合题意，若直线的斜率存在，则设直线的方程为，解得，解得，由，得，解得，即所求的直线方程为，综上可知，所求直线的方程为或，故选BC。10．已知，和直线：，若在坐标平面内存在一点，使，且点到直线的距离为，则点坐标为()。 A、B、C、D、【答案】BD【解析】设点的坐标为，线段的中点的坐标为，，∴的垂直平分线方程为，即，∵点在直线上，∴，又点到直线：的距离为，∴，即，联立可得、或、，∴所求点的坐标为或，故选BD。11．定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：(1)，，且、和构成右手系(即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致)；(2)的模(表示向量、的夹角)。如右图所示，在正方体中，有以下四个结论中，不正确的有()。A、与方向相反B、C、与正方体表面积的数值相等D、与正方体体积的数值相等【答案】ABD【解析】对于A、根据向量外积的第一个性质可知与的方向相同，故A错，对于B、根据向量外积的第一个性质可知与的方向相反，不可能相等，故B错，对于C、根据向量外积的第二个性质可知，则与正方体表面积的数值相等，故C对，对于D、与的方向相反，则，故D错，故选ABD。12．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点。若点在直线上，则下列结论不 正确的是()。A、当点为线段的中点时，平面B、当点为线段的三等分点时，平面C、在线段的延长线上，存在一点，使得平面D、不存在点，使与平面垂直【答案】ABC【解析】以为原点，、、为轴、轴、轴建系，由已知可得，，，，，则，，，，设平面的法向量为，则，取，则，，则，设在直线上存在一点，使得平面，设则，且，，则，，，则，若平面，则与共线，则，此时无解，故不存在点，使得平面，故选ABC。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知是空间任一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面，且满足，则。【答案】【解析】∵，∴，∵是空间任一点，、、、四点满足任三点均不共线，但四点共面，∴，∴。14．已知，方程表示圆，则圆心坐标是，半径是。（本小题每空2.5分） 【答案】【解析】由题意，或，当时方程为，即，圆心为，半径为，当时方程为，不表示圆。15．已知圆：和点，若顶点()和常数满足：对圆上任意一点，都有，则。【答案】【解析】设，∵，∴，任取、代入可得，，解得，，。16．空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面成角的正弦值为。【答案】【解析】∵平面的方程为，∴平面的法向量可取，平面的法向量为，平面的法向量为，设两平面的交线的方向向量为，由，令，则直线与平面所成角的大小为，则。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分） 如图所示，已知平行六面体中，各棱长均为，底面是正方形，且，设，，。(1)用、、表示，并求；(2)求异面直线与所成的角的余弦值。【解析】(1)∵，2分∴，4分∴；5分(2)，则，7分又，，∴，9分∴异面直线与所成的角的余弦值为。10分18．（本小题满分12分）(1)求与向量共线且满足方程的向量的坐标；(2)已知，，，求点的坐标使得；(3)已知，，求：①；②与夹角的余弦值；③确定、的值使得与轴垂直，且。【解析】(1)∵与共线，故可设，由得：，故，∴；2分(2)设，则，，， ∵，∴，∴点坐标为；5分(3)①，6分②∵，，∴，∴与夹角的余弦值为，9分③取轴上的单位向量，，依题意，即，故，解得，。12分19．（本小题满分12分）已知点，点，圆：。(1)求过点的圆的切线方程；(2)求过点的圆的切线方程，并求出切线长。【解析】由题意得圆心，半径，(1)∵，∴点在圆上，又，2分∴切线的斜率，4分∴过点的圆的切线方程是，即；5分(2)∵，∴点在圆外部，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，即，6分又点到直线的距离，即此时满足题意，7分 ∴直线是圆的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为，8分即，则圆心到切线的距离，解得，9分∴切线方程为，即，10分综上可得，过点的圆的切线方程为或，∵，∴过点的圆的切线长为。12分20．（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱中，，，。(1)证明：；(2)若，在棱上是否存在点，使得二面角的大小为。若存在，求的长；若不存在，说明理由。【解析】(1)证明：连接，∵为平行四边形，且，∴为菱形，，2分又∵，∴平面，∴，又∵，∴平面，∴；4分(2)解：∵，，，∴，∴、、两两垂直，以为坐标原点，、、的方向为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，5分则、、、、，设，则，，，易知，平面，则平面的一个法向量，7分设是平面的一个法向量，则， ∴，得，9分∴，解得，∴在棱上存在点，当时，得二面角的大小为。12分21．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，且满足，，，平面平面。(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值。【解析】(1)取的中点，连接，∵，，∴，∴四边形是平行四边形，2分∴，又，∴，3分令，则，，∴，∴，4分又平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴；5分(2)取的中点，连接、，则易知，，∵平面平面，平面平面，∴平面，∴，∴、、两两垂直，6分故可以以、、所在直线分别、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、、，∴、、，7分 设平面的法向量为，则，即，∴，令，则，∴为平面的一个法向量，9分设直线与平面所成的角为，则，11分∴直线与平面所成角的正弦值为。12分22．（本小题满分12分）如图所示，在多面体中，四边形、、均为正方形，为的中点，过、、的平面交于。(1)证明：；(2)求二面角的余弦值。【解析】(1)证明：由正方形的性质可知，且，1分∴四边形为平行四边形，∴，2分又∵平面，平面，∴平面，3分又∵平面，平面平面，∴；4分(2)解：∵四边形、、均为正方形，∴，，且，以为原点，分别以、、为轴、轴、轴单位正向量，建立如图所示的空间直角坐标系，6分可得点的坐标、、、、、，而点为的中点，∴，7分设平面的法向量为， ，，则，即，令，则、，则，9分设平面的一个法向量，，，则，即，令，则、，则，11分设二面角的平面角为，经观察为锐角，∴。12分