212空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 相交平行相交（有一个公共点）平行（无公共点）aboab复习与准备：平面内两条直线的位置关系那空间中两直线还有没有其他的位置关系呢？思考 看一下生活中的例子：立交桥中,两条路线AB,CDABCD 思考一2.平移a,b两条直线，它们能完全重合吗？找不到一个平面使得直线a,b在同一共面内！结论ab1.直线a,b相交吗？不相交不平行3.能否找到一个平面,使得a,b两条直线都在这个平面内？ 不同在一个平面内的两条直线叫做异面直线。1.异面直线的定义:定义中是指“任何”一个平面，是指找不到一个平面，使这两条直线在这个平面上,这样的两条直线才是异面直线。注1例子：如图,在长方体中，判断AB与HG是不是异面直线？ABGFHEDCAB与HG不是异面直线。任何 ①从有无公共点的角度：有且仅有一个公共点---------相交直线在同一平面内--------相交直线②从是否共面的角度没有公共点---------平行直线异面直线不同在任何一个平面内---------异面直线平行直线若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行 异面直线的画法αab图1αβba图2αab图3 这样表示a、b异面正确吗？αβba 1.平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线。答：错。b例1.判断题1a a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abM答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。分别在两个平面内的两条直线一定异面。abab判断题2注2在不同平面内的两条直线不一定异面。 1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有()A．3条B．4条C．6条D．8条解析：在正方体中与AC1异面的棱有BC、CD、BB1、DD1、C1D1、A1D1共6条．答案：C2．如果两条直线a和b没有公共点，则a和b()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面答案：D A1B1C1D1ABCD如图:AA1与CC1在同一平面吗?直观上理论上在图中找出另外的一些异面直线BB1∥AA1,DD1∥AA1,BB1与DD1平行吗? 2、平行直线公理４ 平行同一条直线的两条直线互相平行.符号表示：设a，b，c为直线a∥bc∥ba∥cabca，b，c三条直线两两平行，可以记为a∥b∥c(空间、平面平行线的传递性)公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 例题示范例1：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。分析：欲证EFGH是一个平行四边形只需证EH∥FG且EH＝FGE，F，G，H分别是各边中点连结BD,只需证：EH∥BD且EH＝BDFG∥BD且FG＝BDABDEFGHC 例题示范例1：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。ABDEFGHC∵EH是△ABD的中位线∴EH∥BD且EH=BD同理，FG∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一个平行四边形证明：连结BD 例2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F分别为AA1，CC1的中点．求证：BFED1.∥ ＡＢＣＤＥＰＭＮ例3、如图，Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一点，Ｄ、Ｅ分别是△ＰＡＢ和△ＰＢＣ的重心。求证：ＤＥ∥ＡＣ，ＤＥ＝ ＡＣ１３三角形重心是三角形三边中线的交点,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 3.等角定理提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢?观察思考：如图,∠ADC与∠A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 3.等角定理定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 3.等角定理定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. ABCDA1B1C1D1MN [解题过程]证明：(1) (2)由(1)可知MN∥A1C1，又因为ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，∴∠DNM＝∠D1A1C1. 如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作a，b的平行线a′和b′，abPa′b′O则这两条线所成的锐角θ（或直角），θ称为异面直线a，b所成的角。？任选Oa′若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。异面直线a与b垂直也记作a⊥b异面直线所成角θ的取值范围：平移4.异面直线所成的角 如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作a⊥b。 如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其补角）为所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其补角）为所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60o例7ABGFHEDC2 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为()A．60°B．90°C．105°D．75°例8 如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．例9