2102_空间中直线与直线之间的位置关系

2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系立交桥是伴随高速公路应运而生的．城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景．为了车流畅通，并安全地通过交叉路口，1928年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年，芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931年至1935年，瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥．从此，城市交通开始从平地走向立体．问题1：在同一平面内，两直线有怎样的位置关系？提示：平行或相交．问题2：若把立交桥抽象成一直线，它们是否在同一平面内？有何特征？提示：不共面，即不相交也不平行．问题3：观察一下，教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线，是否也具有类似特征？提示：是．1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法2．空间两条直线的位置关系位置关系特 点相交同一平面内，有且只有一个公共点-11- 平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点1．在初中学过，在同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．问题1：在空间中，是否也有类似规律？提示：是．问题2：能否利用某一空间几何体举出符合这一规律的例子？提示：可以，例如教室墙面与墙面的交线之间．2．观察下图中的∠AOB与∠A′O′B′.问题1：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？提示：分别对应平行．问题2：测量一下，这两个角的大小关系如何？提示：相等．1．平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．(2)符号表述：⇒a∥c.2．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜α≤90°.-11- (3)当θ＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b.1．对于异面直线的定义的理解异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a、b两条直线．例如，如图所示的长方体中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB与B1C1是异面直线．2．对平行公理与等角定理的理解公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法．等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补．[例1] 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________.[思路点拨] 利用直线异面、平行、相交这三种不同关系的判断方法，结合正方体图形特点直观判断．[精解详析] 直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”．[答案] ①平行 ②异面 ③相交 ④异面[一点通] 判定两条直线的位置关系时．若要判定直线平行或相交可用平面几何中的定义和方法处理．判定异面直线的方法往往用定义和反证法．-11- 借助几何模型判定两直线的位置关系，也是常用的一种方法，更直观．1．不平行的两条直线的位置关系是(  )A．相交         B．异面C．平行D．相交或异面解析：若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．答案：D2．如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，与AA1异面的是(  )A．ABB．BB1C．DD1D．B1C1解析：由异面直线的定义知，与AA1异面的直线应为B1C1.答案：D3．已知直线AB、CD是异面直线，求证：直线AC、BD是异面直线．证明：假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一平面内，设这个平面为α(如图)．∵AC⊂α，BD⊂α，∴A、B、C、D四点都在α内，∴AB⊂α，CD⊂α，这与已知中AB和CD是异面直线矛盾，故假设不成立．∴直线AC和BD是异面直线．[例2] 已知E，E1分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1.[思路点拨] 欲证两个角相等，可先证角的两边分别平行，然后再通过等角定理来说明这两个角相等．[精解详析] 连接EE1.∵E，E1分别为AD，A1D1的中点，∴A1E1綊AE，-11- ∴四边形A1E1EA为平行四边形，∴A1A綊E1E.又∵A1A綊B1B，∴E1E綊B1B，∴四边形E1EBB1是平行四边形，∴E1B1∥EB.同理可证E1C1∥EC.又∵E1B1与EB方向相同，E1C1与EC方向相同，∴∠BEC＝∠B1E1C1.[一点通] 空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补，因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的．4.如图所示，在三棱锥S—MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是(  )A．平行    B．相交C．异面D．平行或异面解析：∵E、F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.答案：A5．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别为AA1，CC1的中点．求证：BF綊ED1.证明：取BB1的中点G，连接GC1、GE.∵F为CC1中点，-11- ∴BG綊C1F，∴四边形BGC1F为平行四边形，∴BF綊GC1，又∵EG綊A1B1，A1B1綊C1D1∴EG綊D1C1，∴四边形EGC1D1为平行四边形，∴ED1綊GC1，∴BF綊ED1.[例3] (12分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：(1)A1B与B1D1所成的角；(2)AC与BD1所成的角．[思路点拨] 利用正方体的图形特点，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角后进行求解．[精解详析] (1)如图，连接BD、A1D，∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，∴DD1綊BB1.∴DBB1D1为平行四边形．∴BD∥B1D1.(2分)∴∠A1BD即为异面直线A1B与B1D1所成的角．(3分)∵A1B＝BD＝A1D，∴△A1BD是正三角形．(4分)∴∠A1BD＝60°.∴A1B与B1D1所成的角为60°.(6分)(2)连接BD交AC于点O，取DD1中点E，连接EO、EA、EC.∵O为BD的中点，∴OE∥BD1.(8分)∵∠EDA＝90°＝∠EDC，ED＝ED，AD＝DC，∴△EDA≌△EDC.(9分)-11- ∴EA＝EC.在等腰△EAC中，∵O是AC的中点∴EO⊥AC.∴∠EOA＝90°.(10分)又∵∠EOA是异面直线AC与BD1所成的角，∴AC与BD1所成的角为90°.(12分)[一点通] 异面直线所成角的定义明确给出了异面直线所成角的范围及求异面直线所成角的方法，即平移法作出异面角后转化为解三角形求角，体现了空间角转化为平面角求法的基本思想．6.过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(  )A．1条       B．2条C．3条D．4条解析：以AA1为棱补三个全等的正方体，则四个正方体各有一条符合条件的直线．答案：D7.如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．解：如图所示，取BD的中点G，连接EG、FG.∵E、F分别为BC、AD的中点，AB＝CD，∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝CD，GF＝AB.∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF.∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.∴△EFG为等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°.1．证明两线平行的方法：(1)定义法(多用反证法)，(2)利用公理4即平行传递性．-11- 2．等角定理为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性．3．求两条异面直线所成的角的步骤：(1)作角：在空间任选一点，这个点通常选在其中一条异面直线上，一般为线段的中点或者端点，用平移的方法，把空间角转化成两条相交直线所成的角．(2)证明：证明这个角或其补角即为所求的角．(3)计算：把这个角归结在某个三角形中，通过解三角形求出这个角．1．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于(  )A．30°         B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对解析：∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同．∴∠PQR＝30°或150°.答案：B2．已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b(  )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是相交直线D．不可能是平行直线解析：过直线b上的任一点p作l∥a，则b∩l＝P，b、l确定平面α.由c∥a知，当c∈α时，c与b相交；当c∉α时，c与b异面．故A、B、C错．若c∥b，由c∥a知b∥a，这与已知的a、b为异面直线相矛盾，故D对．答案：D3.(2011·烟台高一检测)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角是(  )A．0°B．45°C．60°D．90°解析：取CD中点M1，连接C1M1，则CN⊥C1M1，故B1M与CN所成的角为90°.答案：D4.如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是(  )A．平行B．相交且垂直C．异面-11- D．相交成60°解析：还原成正方体后，B、D重合为一点，如图所示连AC易知△ABC为等边三角形．答案：D5．满足“a、b是异面直线”的命题序号是________．①a∩b＝∅且a不平行于b ②a⊂平面α，b⊂平面β且a∩b＝∅ ③a⊂平面α，b⊄平面α ④不存在平面α，使a⊂α且b⊂α成立解析：由异面直线的定义知：这两条直线不同在任何一个平面内，即它们既不平行，也不相交，应填①④.答案：①④6．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．答案：③7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求CC1与BD1所成角的正弦值．解：如图所示，连接B1D1，∵B1B∥CC1，则BB1与BD1所成的角∠B1BD1就是CC1和BD1所成的角．在Rt△BB1D1中，sin∠B1BD1＝＝＝，∴CC1与BD1所成角的正弦值为.8.如图所示，E、F分别是长方体A1B1C1D1—ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．证明：设Q是DD1的中点，连接EQ、QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ是矩形AA1D1D的中位线．∴EQ綊A1D1.-11- 又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1(平行公理)．∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.又∵Q、F是DD1、C1C两边的中点，∴QD綊C1F.∴C1Q綊DF.又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．-11- -11-