空间中直线与直线之间的位置关系剖析

新课导入同一平面内的直线有哪些位置关系？aboab相交平行回顾旧知 abo如何判断两直线相交？两直线有公共交点。如何判断两直线平行？两直线在同一平面，且无公共交点。ab 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 在正方体的面ABCD中，AB与AD相交，AB与CD平行.AB和CC'的位置关系是平行还是相交还是两者都不是？两者都不是 黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？既非平行又非相交 旗杆所在的直线与其正后方跑道所在直线是什么位置关系？既非平行又非相交 1.异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。1)异面直线既不平行也不相交一、空间两条直线的位置关系2)定义中“任何”是指两条直线永远不具备确定平面的条件，即是不可能找到一个平面同时包含这两条直线；不能认为分别在两个平面内的两条直线叫异面直线。 a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abM它们可能异面，可能相交，也可能平行。abab 它们可能异面，可能相交，也可能平行。也不能认为不在同一平面内的两条直线叫异面直线。 说明:画异面直线时,为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.如图：aabaAbb(1)(3)(2)3）异面直线的画法 4）异面直线的判定方法：①不同在任何一个平面内。②既不相交也不平行的直线。③连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。已知：如图求证：直线AB和a是异面直线。BAa证明:(反证法)假设直线AB和a不是异面直线。则直线AB和a一定共面，设为（公理2的推论1）所以直线AB和a是异面直线。这与已知A∉α矛盾，又B∉α 按平面基本性质分同在一个平面内相交直线平行直线不同在任何一个平面内:异面直线有一个公共点:按公共点个数分相交直线无公共点平行直线异面直线2、空间中直线与直线之间的位置关系 随堂练习一、下图长方体中平行相交异面②BD和FH是直线①EC和BH是直线③BH和DC是直线BACDEFHG㈡与棱AB所在直线异面的棱共有条?4分别是：CG、HD、GF、HE㈠说出以下各对线段的位置关系? 1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。3）a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是异面直线。4）a与b是共面，b与c是共面，则a与c共面。错错错错2）aα,bα,则a,b一定异面。二、判断 1.两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系是()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.可能是平行直线D.可能是异面直线，也可能是相交直线2.一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.相交或异面三、选择BD 3.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能4.异面直线a，b满足a，b，∩=l，则l与a，b的位置关系一定是（）A.l与a，b都相交B.l至少与a，b中的一条相交C.l至多与a，b中的一条相交D.l至少与a，b中的一条平行BD 下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有对。DBACEFHG3直线EF和直线HG直线AB和直线HG直线AB和直线CD探究 如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'//AA',DD'//AA',那么BB'与DD'平行吗？平行观察 在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线相互平行．在空间中，如果两条直线都与第三条直线平行，是否也有类似的规律？思考二、空间直线的平行关系1、平行关系的传递性 平行于同一条直线的两条直线互相平行。———平行线的传递性在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行。公理４：推广：1、平行关系的传递性二、空间直线的平行关系 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形。BCADEFHG所以EH//BD,且证明：连接BD，因为EH是的中位线，同理FG//BD,且因为EH//FG，且EH//FG所以，四边形EFGH是平行四边形。例三 在例三中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？四边形EFGH是菱形。探究BCADEFHG AOBCPDEFQ在平面上，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.思考 空间中，该结论是否仍然成立？在长方体中，，，的两对边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。定理二.空间直线的平行关系：2.等角定理 三.异面直线所成的角在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于90度的角称为它们的夹角,用以刻画两直线的错开程度,如图.在空间,如图所示,正方体ABCD－EFGH中,异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?ABGFHEDCO问题提出复习回顾 解决问题异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).abb′a′O思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?异面直线所成的角的范围(0,90]oo如果两条异面直线a,b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直,记为a⊥b注2a″ 思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?∵a′∥a,a″∥a∴a′∥a″(公理4),解答：如图设a′与b′相交所成的角为∠1,a″与b所成的角为∠2,同理b′∥b″,∴∠1=∠2(等角定理)b′a′O∠1aa″b∠2答:这个角的大小与O点的位置无关. 说明：aαa1b1O1、分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的锐角（直角）叫做两异面直线所成的角2、定义由等角定理解释：为了简便，在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)baαOθ 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。相交直线的垂直（有垂足）垂直异面直线的垂直（无垂足）OααO因此，异面直线所成角的范围是（0，]3、特例：记作： （1）在长方体ABCD-A'B'C'D'中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？探究有，如AB和CC‘，AB和DD’。 垂直（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？垂直分为两种：相交直线的垂直异面直线的垂直 （3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？如图，若c⊥α，则c垂直于α内所有直线，而α内任意两条直线的关系可能是平行，也可能是相交。不一定 求异面直线所成的角的步骤是:一作(找)：作（或找）平行线二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角。三求：在一恰当的三角形中求出角4、解题时，常将异面直线所成的角转化相交直线所成的角实现了空间问题平化。5、求异面直线所成的角的基本法则：作平行线，构三角形 ABGFHEDC例四如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求（1）哪些棱所在直线与直线BE是异面直线(2)BE与CG所成的角(3)FO与BD所成的角。 解:(1)棱CG,DH,CD,HG,AD,FG所在直线与直线BD是异面直线。(2)∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又BEF中∠EBF=45°，所以BE与CG所成的角是45°。ABGFHEDC ∵AH=HF=FA∴△AFH为等边三角形，依题意知O为AH中点，∴∠HFO=30,∴FO与BD所成的夹角是30°.(2)连接FH∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD∵HDEA，EAFB∴HDFB∥=∥=∥=ABGFHEDCO连接HA、AF 解答：ABGFHEDC2例.已知长方体ABCD-EFGH中,AB=AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其补角）为所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45。(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其补角）为所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60° 高考链接1（2007湖南）如图1，在正四棱柱中，分别是，的中点，则下列结论中不成立的是（）ABCF图1A.与垂直B.与垂直C.与异面D.与异面D 课堂小结不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义:相交直线平行直线异面直线空间两直线的位置关系 公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行。空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。等角定理：异面直线所成的角:平移，转化为相交直线所成的角。