空间中直线与直线之间的位置关系(2)

一、平面的基本性质P平行公理．空间等角定理．ABl 1．平行公理．2．空间等角定理．ABl AA1BB1CC1DD1例．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列各对异面直线所成的角O主要步骤：①构造平面角；②求角计算．转化为平面角(1)A1B与C1C；(2)AC与B1D1；(3)AC与BC1；(4)A1B与B1D1． AA1BB1CC1DD1练习．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为所在棱的中点，求下列各对异面直线所成的角．OPEFMNL(1)EF与MN；(2)AC与BD1． 探究:HGCADBEFGHEF(B)(C)DAAB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对?相交直线有几对?平行直线有几对? 找两个平面的交线：如图，点P是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上一点(不同于端点A、B)，试画出由D1，C，P三点所确定的平面与长方体表面的交线．DBB1AA1D1CC1PQR 证明：同理：即直线AD、BD、CD共面．直线l与点D可以确定一个平面又又直线AD、BD、CD在同一个平面内【例1】已知：求证：直线AD、BD、CD共面. 平面的基本性质例2、两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内ABC已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C求证：直线AB，BC，AC共面.证法一：因为AB∩AC=A所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈，故BC.（公理1）因此直线AB，BC，CA共面. 平面的基本性质ABC证法二：因为A直线BC上，所以过点A和直线BC确定平面.（推论1）因为A∈，B∈BC，所以B∈.故AB，同理AC，所以AB，AC，BC共面. 平面的基本性质ABC证法三：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面.（公理3）因为A∈，B∈，所以AB.（公理1）同理BC，AC，所以AB，BC，CA三直线共面. 例题讲解：例１．如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知Ｅ，Ｆ分别是AB,BC的中点，求证：ＥＦ∥Ａ1C1ABCDA1B1C1D1●●EF证明:连结AC.在△ABC中,E,F分别是AB,BC的中点所以EF∥AC又因为AA1∥BB1且AA1=BB1BB1∥CC1且BB1=CC1所以AA1∥CC1且AA1=CC1即四边形AA1C1C是平行四边形所以ＡＣ∥Ａ1Ｃ1从而ＥＦ∥Ａ1Ｃ1 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．已知：∠BAC和∠B1A1C1的边AB∥A1B1,AC∥A1C1，并且方向相同．求证：∠BAC=∠B1A1C1AA1CC1BB1DD1EE1分析：为证明∠BAC=∠B1A1C1，我们构造两个全等三角形,使∠BAC与∠B1A1C1是它们的对应角． 例题讲解：例2.如图,已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点求证：∠C1E1B1=∠CEBEE1AA1BB1CC1DD1分析：设法证明E1C1∥ECE1B1∥EB