高中数学2.1空间点直线平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课件新人教A版必修

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 螺母abcdef观察下列图形，说说空间中两条直线的位置关系 两条直线既不平行也不相交 1.了解空间中两条直线的位置关系.2.理解异面直线的定义.（重点）3.掌握公理4、等角定理.（重点）4.理解异面直线所成角的定义、范围.（难点） mmm′图1图2llm′从图中可见，直线l与m既不相交，也不平行、空间中两直线之间的这种关系称为异面直线.l′Pl′探究点1空间两直线的位置关系 的两条直线叫做异面直线.（既不相交也不平行的两条直线）我们把不同在任何一个平面内1.异面直线提示:分别在某两个平面内的两条直线不一定是异面直线,它们可能相交,也可能平行.定义中是指“任何”一个平面，是指找不到一个平面，使这两条直线在这个平面上,这样的两条直线才是异面直线。注 请为异面直线选择合适的定义：A、空间中不相交的两条直线；B、某平面内的一条直线和这平面外的直线；C、分别在不同平面内的两条直线；D、不在同一平面内的两条直线。E、不同在任一平面内的两条直线； 异面直线的画法:通常用一个或两个平面来衬托异面直线不同在任何一个平面内的特点 判断：直线m和l是异面直线吗?αβlmml(1)(2),则ɑ与b是异面直线.(3)ɑ,b不同在平面α内,则ɑ与b是异面直线.不是是错错【即时训练】 ①从有无公共点的角度有且仅有一个公共点——相交直线在同一平面内——相交直线②从是否共面的角度没有公共点——平行直线异面直线不同在任何一个平面内——异面直线平行直线2.空间两条直线的位置关系 如图所示,在四棱锥P-ABCD中的八条棱所在的直线中,异面直线共有对.【解析】每条侧棱与底面四边形中不共点的两边均为异面直线,故共有8对.答案:8【即时训练】 在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间中，是否有类似的规律？如图,长方体ABCD-A′B′C′D′中,BB′∥AA′,DD′∥AA′,那么BB′与DD′平行吗?BB′与DD′平行提示：【互动探究】 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行.公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.公理4作用：判断空间两条直线平行的依据.a∥bc∥ba∥c符号表示：设空间中的三条直线分别为a,b,c,若探究点2公理4 空间四边形：如图，顺次连接不共面的四点A，B，C，D所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.ABCD相对顶点A与C，B与D的连线AC，BD叫做这个空间四边形的对角线. 平行异面相交异面【即时训练】 例1：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.ABDEFGHC证明：连接BD.因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD,且EH=BD.同理，FG∥BD，且FG=BD.因为EH∥FG，且EH=FG，所以四边形EFGH是平行四边形. 1.若E，F，G,H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上的中点，且AC＝BD，则四边形EFGH为.2.若E，F，G,H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上的中点，且AC⊥BD，则四边形EFGH为.3.若E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上的中点，且AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH为.(以上三个问题你会证明吗？不妨一试)菱形矩形正方形【变式练习】 解题思想：把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题——解立体几何时最主要、最常用的一种方法.【提升总结】 在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”.在空间中,结论是否仍然成立呢?观察思考：如图,∠ADC与∠A′D′C′，∠ABC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？提示：∠ADC与∠A′D′C′相等，∠ABC与∠A′B′C′相等.【互动探究】 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.探究点3等角定理 （1）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等.（）（2）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（）√×【即时训练】 如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作a、b的平行线a′和b′，则这两条线所成的锐角θ（或直角），称为异面直线a，b所成的角.a′b′Oθ？Oa′平移探究点4两条异面直线所成的角ab 若两条异面直线所成的角为90°，则称它们互相垂直.异面直线a与b垂直也记作a⊥b.异面直线所成的角θ的取值范围： 例2如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′.（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？解:（1）由异面直线的定义可知，与直线BA′成异面直线的有直线B′C′，AD,CC′,DD′,DC,D′C′. （2）由可知，为异面直线与的夹角,=45°所以，直线与的夹角为45°.(3)直线与直线垂直.分别 (1)求两异面直线所成的角的一般步骤：①作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；②证：证明作出的角就是要求的角；③计算：求角的值，常利用解三角形．可用“一作二证三计算”来概括．(2)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角，要注意识别这种情况．【提升总结】 EF【变式练习】 1.(2015·广东高考)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l至少与l1,l2中的一条相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l与l1,l2都不相交 【解题关键】垂直于同一条直线的两条直线是否平行?异面直线间是否有传递性?提示:在空间中垂直于同一条直线的两条直线不一定平行.异面直线间不具有传递性. 【方法技巧】1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍.(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系. 2.空间任意两个角α,β,且α与β的两边对应平行,α=60°,则β为()A.60°B.120°C.30°D.60°或120° ,, ABGFHEDC24.如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2.(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度? (2)因为BF∥AE，所以∠FBG（或其补角）为所求.在Rt△BFG中，求得∠FBG=60°，所以AE与BG所成的角为60°.ABGFHEDC2解答：(1)因为GF∥BC，所以∠EGF（或其补角）为所求.在Rt△EFG中，求得∠EGF=45°，所以BC与EG所成的角为45°. 异面直线相交直线平行直线异面直线空间两直线的位置关系异面直线的定义异面直线的画法两异面直线所成的角一作(找)二证三求 空间中两条直线的位置关系相交定义定义定义位置关系共面异面平行同一平面内，有且只有一个公共点同一平面内，没有公共点不同在任何一个平面内，没有公共点