2.1.2_空间直线与直线之间的位置关系

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 经过不共线三点确定平面的条件：经过一条直线和直线外的一点经过两条相交直线经过两条平行直线有且只有一个平面复习巩固 复习巩固下列四个命题中，正确的是()A、四边形一定是平面图形B、空间中的三个点确定一个平面C、梯形一定是平面图形D、六边形一定是平面图形E、三角形一定是平面图形C、E 判断下列命题对错：1、如果一条直线上有一个点在一个平面上，则这条直线上的所有点都在这个平面内。（）2、将书的一角接触课桌面，这时书所在平面和课桌所在平面只有一个公共点。（）3、四个点中如果有三个点在同一条直线上，那么这四个点必在同一个平面内。（）4、一条直线和一个点可以确定一个平面。（）5、如果一条直线和另两条直线都相交，那么这三条直线可以确定一个平面。（）复习巩固 复习回顾:1.平面内两条直线位置关系有几种?分别是什么位置关系?abab ABCD六角螺母 探　讨：ABCDA1B1C1D1观察右图的长方体ABCD-A1B1C1D1请同学们看一下图中的直AA1和直线C1D1平行吗？相交吗？有平行的直线吗？哪些是？有相交直线吗？哪些是？定义：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（即既不平行也不相交） .异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？答案：D1C1、C1C、CDD1D、AD、B1C1 想一想,做一做：已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？ 1、空间两条直线的位置关系①从有无公共点的角度：有且仅有一个公共点---------相交直线在同一平面内--------相交直线平行直线②从是否共面的角度没有公共点---------平行直线异面直线不在同一平面内---------异面直线 空间两条直线的位置关系有且只有三种平行相交异面位置关系公共点个数是否共面没有只有一个没有共面不共面共面空间中两条直线的位置关系 2、异面直线的画法αabαβbaαab a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abM答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？abab 两直线异面如何判定？(2)过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．B·lAα(1)定义就是一种方法. 练习 练习：判断下列说法的对错1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；3、a与b是异面直线，b与c是异面线，则a与c是异面直线；4、a与b是共面，b与c是共面，则a与c共面.FFFF １.指出下列命题是否正确,并说明理由过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线；２.若两条直线a,b没有公共点,则a,b的位置关系是（）Ａ．共面　　Ｂ．平行　Ｃ异面　Ｄ平行或异面３.直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b的位置关系是　　　　　　　　（）Ａ．平行　　Ｂ．相交　Ｃ异面　Ｄ相交或异面练习 在同一平面内，如果a∥b,b∥c,则a∥c那这个性质在空间中成立吗？想一想？ABCDA1B1C1D1在右图中你找到了空间的三条平行直线了吗？ 3公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行直线a，b，ca∥bc∥ba∥c(直线平行的传递性) 符号表示：a∥bb∥ca∥c思　考：经过直线外一点,有几条直线和这条直线平行？推论：平行于同一条直线的所有直线互相平行。 例2：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。分析：欲证EFGH是一个平行四边形只需证EH∥FG且EH＝FGE，F，G，H分别是各边中点连结BD,只需证：EH∥BD且EH＝BDFG∥BD且FG＝BDABDEFGHC 例2：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。ABDEFGHC∵EH是△ABD的中位线∴EH∥BD且EH=BD同理，FG∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一个平行四边形证明：连结BD 变式一：在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?EHFGABCD分析：在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。菱形 ABDCEFGH变式：四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是AB，AD的中点，F、G分别是CB，CD上的点，且求证：四边形EFGH是梯形。 证明：连结BD。∵EH是∆ABD的中位线，∴EH∥BD，EH=BD。又∵在∆BCD中，，∴FG∥BD，FG=BD。即EF∥FG。又∵FG>EH，∴四边形EFGH是梯形。ABDCEFGH变式：《新坐标》35页举一反三 例3．如图：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知Ｅ，Ｆ分别是AB,BC的中点，求证：ＥＦ∥Ａ1C1ABCDA1B1C1D1●●EF证明:连结AC.在△ABC中,E,F分别是AB,BC的中点所以EF∥AC又因为AA1∥BB1且AA1=BB1BB1∥CC1且BB1=CC1所以AA1∥CC1且AA1∥CC1即四边形AA1C1C是平行四边形所以ＡＣ∥Ａ1Ｃ1从而ＥＦ∥Ａ1Ｃ1 练一练,P48页练习1,2题。例4: 如图，是平面外的一点分别是的重心，求证：。证明：连结分别交于,连结,∵G,H分别是⊿ABC,⊿ACD的重心,∴M,N分别是BC,CD的中点,∴MN//BD,又∵∴GH//MN,由公理4知GH//BD. 4、等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 两条异面直线所成的角 1、怎样定义异面直线所成的角？ab设a、b为两异面直线，经过空间一点o作直线，我们把所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.oaˊbˊ aba'b'oa‘’b‘’o' aOba' 两条异面直线所成的角的范围：αabO如果两条两条异面直线所成的角是直角，那么称这两条异面直线互相垂直。角的范围:（0°，90°] 例5在正方体ABCD-A’B’C’D’中①哪些棱所在直线与直线BA’是异面直线？②求直线BA’与CC’的夹角的度数；③哪些棱所在直线与直线AA’垂直？①B’C’、AD、CC’、DD’、DC、D’C’.②.③AB、BC、CD、DA、A’B’、B’C’、C’D’、D’A’ 在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a，E、F分别是棱A’B’，B’C’的中点，求：①异面直线AD与EF所成角的大小；②异面直线B’C与EF所成角的大小；③异面直线B’D与EF所成角的大小.OGAC∥A’C’∥EF,OG∥B’DB’D与EF所成的角即为AC与OG所成的角,即为∠AOG或其补角.平移法 异面直线所成的角的求法:例6：如图正方体AC1，①求异面直线AB1和CC1所成角的大小②求异面直线AB1和A1D所成角的大小D1D1CCB1A1ADD1B1 如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解答：(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其补角）为所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其补角）为所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60o课堂练习ABGFHEDC2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为4(1)求直线BA1和CC1所成的角的大小(2)若M，N分别为棱A1B1和B1B的中点，求直线AM与CN所成的角的余弦值.A1B1C1D1ABCDMNPQBQ=1BN=2QN=QC=NC=Cos∠QNC= 在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E、F分别是AB、CD的中点.且EF=．求:异面直线AD和BC所成的角.且PE//BC,PF//AD解:设P为AC中点,连结EP、FP.则∴PE与PF所成的锐角（其补角）就是异面直线BC与AD所成的角.在△PEF中,PE=PF=1,EF=即异面直线AD和BC成600角∴ABCDEFG 在空间四边形S-ABC中，SA⊥BC且SA=BC,E,F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）CSABEFD(A)300(B)450(C)600(D)900B 填空：1、空间两条不重合的直线的位置关系有________、________、________三种。2、没有公共点的两条直线可能是________直线，也有可能是________直线。3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系有______________。4、过已知直线上一点可以作______条直线与已知直线垂直。5、过已知直线外一点可以作______条直线与已知直线垂直。平行相交异面平行异面无数无数相交、异面 1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。()2、空间两条不相交的直线一定是异面直线。()3、垂直于同一条直线的两条直线必平行。()4、若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直。()判断对错： 练习反馈：1.判断:（1）平行于同一直线的两条直线平行.（）（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（）（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （）（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条.    （）（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（）（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（   ）√×√√×× 1．空间两直线平行是指它们（）A．无交点B．共面且无交点C．和同一条直线垂直D．以上都不对练习2．在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角（）A．相等B．互补C．相等或互补D．既不相等也不互补3．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是（）A．相交B．异面C．相交或异面或平行D．相交或异面BCD 4．如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与异面的棱共有（）A．3条B．4条C．5条D．6条B 5．两条异面直线是指（     ）A．空间两条没有公共点的直线B．平面内一直线与这个平面外的一直线C．分别在两个平面内的两条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线D 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义:相交直线平行直线异面直线空间两直线的位置关系课堂小结异面直线的求法:一作(找)二证三求异面直线的画法用平面来衬托异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角