高中数学2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系第二章点、直线、平面之间的位置关系 空间直线与直线之间的位置关系2.1.2一、空间的平行直线1.同一平面中的平行直线(1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行.(2)平行线的传递性性质：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.acbβacb？ 问题：在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？？空间直线与直线之间的位置关系2.1.2 公理4平行于同一条直线的两直线互相平行（1）已知直线a、b、c，且a∥b，b∥c，则a∥c（2）空间平行直线具有传递性（3）互相平行的直线表示空间里的一个确定的方向（空间平行线的传递性）理解：空间直线与直线之间的位置关系2.1.2 公理4平行于同一条直线的两直线互相平行定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.空间直线与直线之间的位置关系2.1.2 2.空间四边形顺次连结不共面的四点A、B、C、D,所组成的四边形叫做空间四边形，相对顶点A和C，B和D的连线AC、BD是这个空间四边形的对角线.空间直线与直线之间的位置关系2.1.2 ABCD六角螺母空间直线与直线之间的位置关系2.1.2 二、异面直线及其夹角1.异面直线的概念不同在任何一个平面内的两条直线,叫做异面直线空间直线与直线之间的位置关系2.1.2 2.空间两条直线(不重合)的位置关系⑴按有无公共点分：⑵按是否共面分：①有且只有一个公共点——相交直线②没有公共点——{平行直线异面直线①在同一平面内——{相交直线平行直线②不同在任一平面内——异面直线空间直线与直线之间的位置关系2.1.2 3.异面直线所成的角已知两条异面直线a、b，在空间任取一点O，作a’∥a，b’∥b，a’与b’所成的锐角或直角，叫做异面直线a、b所成的角(或叫做夹角)b′abOa′思考：异面直线所成角的范围是空间直线与直线之间的位置关系2.1.2 异面直线所成角的范围是空间直线与直线之间的位置关系2.1.2 4.两条异面直线的三种画法：abab空间直线与直线之间的位置关系2.1.2 a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abM答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？abab合作探究 例1在正方体ABCD-A’B’C’D’中①哪些棱所在直线与直线BA’是异面直线？②求直线BA’与CC’的夹角的度数；③哪些棱所在直线与直线AA’垂直？①B’C’、AD、CC’、DD’、DC、D’C’.②.③AB、BC、CD、DA、A’B’、B’C’、C’D’、D’A’ 在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a，E、F分别是棱A’B’，B’C’的中点，求：①异面直线AD与EF所成角的大小；②异面直线B’C与EF所成角的大小；③异面直线B’D与EF所成角的大小.OGAC∥A’C’∥EF,OG∥B’DB’D与EF所成的角即为AC与OG所成的角,即为∠AOG或其补角.平移法 如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解答：(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其补角）为所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其补角）为所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60o例2ABGFHEDC2 6.异面直线的判定方法根据异面直线的定义判定 1．空间两直线平行是指它们（）A．无交点B．共面且无交点C．和同一条直线垂直D．以上都不对练习2．在空间，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角（）A．相等B．互补C．相等或互补D．既不相等也不互补3．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是（）A．相交B．异面C．相交或异面或平行D．相交或异面BCD 4．如图，是长方体的一条棱，这个长方体中与异面的棱共有（）A．3条B．4条C．5条D．6条B 5．两条异面直线是指（     ）A．空间两条没有公共点的直线B．平面内一直线与这个平面外的一直线C．分别在两个平面内的两条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线D 6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OD1与A1C1所成的角的度数为A1D1C1B1ABCDO900 7.在空间四边形S-ABC中，SA⊥BC且SA=BC,E,F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）CSABEFD(A)300(B)450(C)600(D)900B 1.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E、F分别是AB、CD的中点.且EF=．求:异面直线AD和BC所成的角.且PE//BC,PF//AD解:设P为AC中点,连结EP、FP.则∴PE与PF所成的锐角（其补角）就是异面直线BC与AD所成的角.在△PEF中,PE=PF=1,EF=即异面直线AD和BC成600角∴ABCDEFG 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义:相交直线平行直线异面直线空间两直线的位置关系6.课堂小结异面直线的求法:一作(找)二证三求异面直线的画法用平面来衬托异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角 提高：在空间四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC上的点，且AE:ED=BF:FC=1:2，AB=CD=3，EF=，求异面直线AB与CD所成的角∠EGF或其补角因∠EGF=1200，故AB与CD的夹角为600. 说明：异面直线所成角的范围是（0，]，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。