空间点、直线、平面之间的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系  一、知识要点：  1.平面的基本性质：  公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。    公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。  公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。    2.空间中直线与直线之间的位置关系：  空间两条直线的位置关系有且只有三种：    如图：AB与BC相交于B点，AB与A′B′平行，AB与B′C′异面。   公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。  定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。  3.空间中直线与平面之间的位置关系：  （1）直线在平面内……有无数个公共点；  （2）直线与平面相交……有且只有一个公共点；  （3）直线与平面平行……没有公共点。  其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。  注意，我们不提倡如下画法．  4.平面与平面之间的位置关系：  （1）两个平面平行……没有公共点；  （2）两个平面相交……有一条公共直线。     二、例题讲解：  例1、根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．   图1可以用几何符号表示为：___________________________________________．  图2可以用几何符号表示为：___________________________________________．  分析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出．  解：图1可以用几何符号表示为：  即：平面与平面相交于直线AB，直线a在平面内，直线b在平面内，直线a平行于直线AB，直线b平行于直线AB．  图2可以用几何符号表示为：，△ABC的三个顶点满足条件  即：平面与平面相交于直线MN，△ABC的顶点A在直线MN上，点B在内但不在直线MN上，点C在平面内但不在直线MN上．  例2、观察下面的三个图形，说出它们有何异同．   分析：图1既可能是平面图形，也可能是一个空间图形的直观图；图2、图3均用了一条直线衬托，它们都是空间图形的直观图．  解：图1可能是平面图形，也可能是空间图形的直观图；图2是MN凸在外面的一个空间图形的直观图；图3是MN凹在里面的一个空间图形的直观图．  点评：（1）本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的画法．而这些画法的掌握程度将影响对空间结构的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习．  （2）与本题类似的其它变形还有：  用虚线画出图4正方体和图5三棱锥中被遮挡的棱，完成图形．  例3、正方体ABCD-A1B1C1D1中，  （1）DD1和A1B1的位置关系如何？    D1B和AC的位置关系如何？    A1C和D1B的位置关系如何？  （2）和AD成异面直线的棱所在直线有几条？  （3）和BD1成异面直线的棱所在直线有几条？  （4）六个面的正方形对角线共12条，这些对角线所在直线中，异面直线共有多少对？   解析：我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种，判断的依据是看两条直线是共面还是异面及是否有公共点。  （1）异面直线；异面直线；相交直线；  （2）4条．分别是A1B1、B1B、C1D1、C1C；  （3）6条．分别是AA1、CC1、A1B1、B1C1、AD、CD；  （4）30对。  例4、已知：如图，立体图形A—BCD的四个面分别是△ABC、△ACD、△ABD和△BCD ，E、F、G分别为线段AB、AC、AD上的点，EF∥BC，FG∥CD．  求证：△EFG∽△BCD．  证明：∵在平面ABC中，EF∥BC，∴＝．  又在平面ACD中，FG∥CD，∴=．  ∴=．  ∴EG∥BD．  ∴∠EFG=∠BCD．  同理∠FGE=∠CDB，  ∴△EFG∽△BCD．   与本例类似变形还有：  已知：将一张长方形的纸片ABCD对折一次，EF为折痕再打开竖直在桌面上，如图所示，连结AD、BC．  求证：ADBC，∠ADE＝∠BCF．（证明略）  三、练习：  1．下列图形中，满足的图形是（ ）．          （A）             （B）          （C）             （D）  2．已知A、B表示点，b表示直线，、表示平面，下列命题和表示方法都正确的是（ ）．  （A）  （B）  （C）    （D）  3．用符号表示“若A、B是平面内的两点，C是直线AB上的点，则C必在内”，即是________________．   4．“a，b为异面直线”是指：  （1）且a不平行于b；  （2）且；  （3）且；  （4）；  （5）不存在平面，使且成立．  上述结论中，正确的是（ ）．  （A）（1）（4）（5）  （B）（1）（3）（4）  （C）（2）（4）     （D）（1）（5）  5．一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）．  （A）平行或异面  （B）异面  （C）相交  （D）相交或异面  6．如图，空间四边形ABCD中，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD＝m，则MN＝__________．  7.如图，是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AF、BC、DE这三条线段所在直线是异面直线的是__________，它们所成的角为________度。   四、练习答案：  1.提示:根据平面的无限延展性及平面画法来判断．  答案:（C）．  2.提示：根据点与平面应用“”“”连接排除A；根据公理两个平面相交为一条直线，排除B；再跟据图形可排除D，因为A有可能在平面上．  答案：（C）．  3.提示:熟悉点与线，点与平面的关系，正确使用“”、“”等符号．  答案:.  4.提示：根据异面直线定义“不同在任何一个平面内，没有公共点的两条直线叫异面直线”，结合图形可排除（2）、（3）、（4）．（∵（2）中可能有a∥b，（3）中可能有a∥b，（4）可能有a与b相交或平行．）（5）是正确的，再由直线位置关系可得（1）也是正确的．  答案：（D）．  5.提示：由公理可排除（A），再结合图形可利用平移方法验证．  答案：（D）．  6.提示：重心是三条中线的交点，并分每条中线的比为2∶3．连结AM并延长交BC于E，连结AN并延长交CD于F，再连结MN、EF，根据三角形重心性质得BE＝EC，CF＝FD．  ∴MNEF，EFBD．  ∴MNBD ∴MN＝m．  答案：m．   7.解析：展开图还原成正方体如图所示（C点与D点重合），成异面直线的是AF与BC（或BD)，AF与BC所成角即为CE与BC所成角，为60度。