空间点、直线、平面之间的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系、知识要点：1.平面的基本性质：公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内AeltBehBea^lca公理2:过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线Pectny?，且Pwl2.空间中直线与直线之间的位置关系：空间两条直线的位置关系有且只有三种：“面盲气J相交直线；同一平面内.有且只有一个公共点；彳（平行直线；同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点*如图：AB与BC相交于B点，AB与eB平行，AB与夕C异面1/9 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。1.空间中直线与平面之间的位置关系：(1)直线在平面内……有无数个公共点；(2)直线与平面相交……有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行……没有公共点。其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。表不为：&UH&f)CL1■A\/〃U注意,我们不提倡如下画法.2.平面与平面之间的位置关系：(1)两个平面平行……没有公共点；(2)两个平面相交有一条公共直线12/9 12/9、例题讲解:例1、根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系.图1可以用几何符号表示为：图2可以用几何符号表示为：分析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出.解：图1可以用几何符号表示为：'♦一--丁？即:平面匚L与平面”相交于直线AB，直线a在平面I内，直线b在平面”内，直线a平行于直线AB，直线b平行于直线AB.图2可以用几何符号表示为：二门「一，△ABC的三个顶点满足条件AeMN,beMN,CgMN。即:平面i与平面”相交于直线MN,△ABC的顶点A在直线MN上，点B在匚：内但不在直线MN上，点C在平面”内但不在直线MN上.例2、观察下面的三个图形，说出它们有何异同.12/9 if分析：图1既可能是平面图形，也可能是一个空间图形的直观图；图2、图3均用了一条直线衬托，它们都是空间图形的直观图.解：图1可能是平面图形，也可能是空间图形的直观图；图2是MN凸在外面的一个空间图形的直观图；图3是MN凹在里面的一个空间图形的直观图.点评：(1)本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、这些画立体几何图的画法.而法的掌握程度将影响对空间结构的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习.(2)与本题类似的其它变形还有：用虚线画出图4正方体和图5三棱锥中被遮挡的棱，完成图形.图4例3、正方体ABCD-AEiGD中,(1)DD和AiB的位置关系如何？DB和AC的位置关系如何？AC和DB的位置关系如何？(2)和AD成异面直线的棱所在直线有几条？(3)和BD成异面直线的棱所在直线有几条？(4)六个面的正方形对角线共12条，这些对角线所在直线中，异面直线共有多少对？12/9 解析：我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种，是异面及是否有公共点。(1)异面直线；异面直线；相交直线；(2)4条-分别是AlBi、BlB、C1D1、OC；(3)6条.分别是AAl、CO、AiB、BCi、AD、CD；(4)30对。判断的依据是看两条直线是共面还例4、已知：如图，立体图形A-BCD的四个面分别是AAE'F'G分别为线段AB、AC、AD上的点，EF〃BC,FG〃CD求证：△EFGBCD•、△ACD、△ABD和ABCDAEAF证明：•--在平面ABC中，EF//BC，-二二二-AFAG又在平面ACD中，FG//CD,・・・_-_='二一•AEAG.•・三匚.•EG//BD••/EFG=/BCD-同理/FGE=/CDB，12/9 •△EFGBCD•12/9 与本例类似变形还有：已知：将一张长方形的纸片ABCD对折一次，EF为折痕再打开竖直在桌面上，如图所示,连结AD、BC.求证：AD-BC,ZADE=ZBCF•(证明略)12/912/9三、练习:，-J..亡.一二_1的图形是＜(B)(D)2.已知A、B表示点，b表示直线，、‘表示平面,卜列命题和表示方法都正确的是(A)(B)'、•二二-J'汀八二(C)「二(D)'■H->〔匚」3•用符号表示若A、B是平面二内的两点,C是直线AB上的点，贝UC必在二内”即是12/912/9 4.“ab为异面直线”是指:12/9 12/9(1)”且a不平行于b；⑵_「＜且，＜：(3)—2:一・且二…：P;(4)「〔山J二山(5)不存在平面ILL，使〃且口二匕成立.上述结论中，正确的是()・(A)(1)(4)(5)(B)(1)(3)(4)(0(2)(4)(D)(1)(5)5•一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是().(A)平行或异面(B)异面(C)相交(D)相交或异面6•如图，空间四边形ABCD中，M、N分别是△ABC和AACD的重心，若BD=m,则MN=•7.如图，是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AF、BC、DE这三条线段所在直线是异面直线的是，它们所成的角为度。CAE\/F1四、练习答案:12/9 1.提示：根据平面的无限延展性及平面画法来判断.答案：（C）.2.提示：根据点与平面应用“”""连接排除A;根据公理两个平面相交为一条直线，排除B;再跟据图形可排除D，因为A有可能在平面上.答案：（C）.3,提示：熟悉点与线，点与平面的关系，正确使用“”、匚”等符号.答案：，P'.'■一「T.4,提示：根据异面直线定义不同在任何一个平面内，没有公共点的两条直线叫异面直线”结合图形可排除（2）、（3）、（4）.（v（2）中可能有2〃，（3）中可能有2〃，（4）可能有a与b相交或平行.）（5）是正确的，再由直线位置关系可得（1）也是正确的.答案：（D）.5.提示：由公理可排除（A），再结合图形可利用平移方法验证.答案：（D）6.提示：重心是三条中线的交点，并分每条中线的比为2:3•连结AM并延长交BC于E，连结AN并延长交CD于F,再连结MN、EF，根据三角形重心性质得BE=EC,CF=FD.21•••MN二；EF,EF—•/BD.]1•MNjBD-MN=Jm.答案：2m.12/9 1.解析：展开图还原成正方体如图所示（C点与D点重合），成异面直线的是AF与BC（或BD），AF与BC所成角即为CE与BC所成角，为60度。12/9 C(D)12/9