高中数学 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A必修2

2．1.2空间中直线与直线之间的位置关系 学习目标预习导学典例精析栏目链接 1．理解异面直线的概念和画法．2．理解并掌握公理4及等角定理．3．结合图形，正确理解空间中直线与直线的位置关系(特别是两条直线的异面关系)，理解并掌握异面直线所成角的求法． 学习目标预习导学典例精析栏目链接典例精析 题型一空间直线位置关系的判定学习目标预习导学典例精析栏目链接例1已知三条直线a，b，c，a与b异面，b与c异面，那么a与c有什么样的位置关系？并画图说明．解析：直线a与c的位置关系有三种情况，如图所示．直线a与c可能平行，见图①；可能相交，见图②；可能异面，见图③.点评：两直线的位置关系有三种，在判断两直线的位置关系时，常常逐一验证排除． 学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练1．下列条件中，一定能推出a与b是异面直线的是(D)A．a，c异面且b，c异面B．a∥c，b与c相交C．a，b分别与c相交D．a⊂平面α，b∩α＝A且A∉a 题型二证明两条直线的异面直线学习目标预习导学典例精析栏目链接例2已知直线AB，CD是异面直线，求证：直线AC，BD是异面直线．证明：假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一平面内，设这个平面为α(如图)． 学习目标预习导学典例精析栏目链接∵AC⊂α，BD⊂α，∴A，B，C，D四点都在α内，∴AB⊂α，CD⊂α，这与已知中AB和CD是异面直线矛盾，故假设不成立．∴直线AC和BD是异面直线．点评：判定两直线为异面直线的常用方法为反证法． 学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练2．如图，已知α∩β＝a，b⊂β，a∩b＝A，且c⊂α，a∥c，求证：b，c是异面直线． 学习目标预习导学典例精析栏目链接证明(反证法)：假设b，c不是异面直线，即b，c共面，∴b与c平行或相交．(1)当b∩c＝P时，已知b⊂β，c⊂α，又α∩β＝a，则P∈b⊂β，且P∈c⊂α，∴P在α与β的交线上，即P∈a.∴a∩c＝P，此与已知a∥c矛盾．(2)当b∥c时，由公理4，b∥a，与a∩b＝A矛盾．∴b，c为异面直线． 题型三求异面直线所成的角学习目标预习导学典例精析栏目链接例3在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2a，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝a，求AD，BC所成的角．分析：要求异面直线AD，BC所成的角，可通过空间中找一些特殊的点．此题已知E，F分别为两边中点，故可寻找某一边中点作角，如BD中点M，即∠EMF(或其补角)为所求角．解析：如图，取BD中点M，由题意可知EM为△BAD的中位线， 学习目标预习导学典例精析栏目链接 学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：在求异面直线所成角的过程中要注意以下问题：(1)由定义作角的顶点一定要恰当，所选点的位置同计算角的难易有直接关系(当然此题选AC中点连接三角形效果也一样)；(2)按定义所作角由图形反映出来，不一定就是所求的角，若不是则一定是其补角，这是由异面直线所成角的范围(0，90°]决定的；(3)求异面直线的步骤为：一找，二求，三答． 学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练3．(多解题)如图，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．解析：解法一如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G. 学习目标预习导学典例精析栏目链接则OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.解法二如图，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE，则HE綊DB1.于是∠HEF为所求异面直线DB1与EF所成的角或其补角．连接HF，设AA1＝1，则EF＝，HE＝，取A1D1的中点I，连接IF，则HI⊥IF.∴HF2＝HI2＋IF2＝.∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.