空间点、直线、平面之间的位置关系

..空间点、直线、平面之间的位置关系一、知识要点：  1.平面的根本性质：  公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。    公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。  公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。    2.空间中直线与直线之间的位置关系：  空间两条直线的位置关系有且只有三种：jz* ..    如图：AB与BC相交于B点，AB与A′B′平行，AB与B′C′异面。  公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。  定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。  3.空间中直线与平面之间的位置关系：  〔1〕直线在平面内……有无数个公共点；  〔2〕直线与平面相交……有且只有一个公共点；  〔3〕直线与平面平行……没有公共点。  其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。jz* ..  注意，我们不提倡如下画法．  4.平面与平面之间的位置关系：  〔1〕两个平面平行……没有公共点；  〔2〕两个平面相交……有一条公共直线。二、例题讲解：例1、根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．  图1可以用几何符号表示为：___________________________________________．  图2可以用几何符号表示为：___________________________________________．  分析：jz* ..此题关键是找出图中根本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出．  解：图1可以用几何符号表示为：  即：平面与平面相交于直线AB，直线a在平面，直线b在平面，直线a平行于直线AB，直线b平行于直线AB．  图2可以用几何符号表示为：，△ABC的三个顶点满足条件  即：平面与平面相交于直线MN，△ABC的顶点A在直线MN上，点B在内但不在直线MN上，点C在平面内但不在直线MN上．  例2、观察下面的三个图形，说出它们有何异同．分析：图1既可能是平面图形，也可能是一个空间图形的直观图；图2、图3均用了一条直线衬托，它们都是空间图形的直观图．  解：图1可能是平面图形，也可能是空间图形的直观图；图2是MN凸在外面的一个空间图形的直观图；图3是MN凹在里面的一个空间图形的直观图．jz* ..  点评：〔1〕此题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的画法．而这些画法的掌握程度将影响对空间构造的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习．  〔2〕与此题类似的其它变形还有：  用虚线画出图4正方体和图5三棱锥中被遮挡的棱，完成图形．例3、正方体ABCD-A1B1C1D1中，  〔1〕DD1和A1B1的位置关系如何？    D1B和AC的位置关系如何？    A1C和D1B的位置关系如何？  〔2〕和AD成异面直线的棱所在直线有几条？  〔3〕和BD1成异面直线的棱所在直线有几条？  〔4〕六个面的正方形对角线共12条，这些对角线所在直线中，异面直线共有多少对？jz* ..解析：我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种，判断的依据是看两条直线是共面还是异面及是否有公共点。  〔1〕异面直线；异面直线；相交直线；  〔2〕4条．分别是A1B1、B1B、C1D1、C1C；  〔3〕6条．分别是AA1、CC1、A1B1、B1C1、AD、CD；  〔4〕30对。  例4、：如图，立体图形A—BCD的四个面分别是△ABC、△ACD、△ABD和△BCD ，E、F、G分别为线段AB、AC、AD上的点，EF∥BC，FG∥CD．  求证：△EFG∽△BCD．jz* ..证明：∵在平面ABC中，EF∥BC，∴＝．  又在平面ACD中，FG∥CD，∴=．  ∴=．  ∴EG∥BD．  ∴∠EFG=∠BCD．  同理∠FGE=∠CDB，  ∴△EFG∽△BCD．  与本例类似变形还有：  ：将一张长方形的纸片ABCD对折一次，EF为折痕再翻开竖直在桌面上，如下列图，连结AD、BC．  求证：ADBC，∠ADE＝∠BCF．〔证明略〕三、练习：  1．以下列图形中，满足的图形是〔 〕．jz* ..          〔A〕             〔B〕          〔C〕             〔D〕  2．A、B表示点，b表示直线，、表示平面，以下命题和表示方法都正确的选项是〔 〕．  〔A〕  〔B〕  〔C〕    〔D〕  3．用符号表示“假设A、B是平面内的两点，C是直线AB上的点，那么C必在〞，即是________________．  4．“a，b为异面直线〞是指：  〔1〕且a不平行于b；  〔2〕且；  〔3〕且；  〔4〕jz* ..；  〔5〕不存在平面，使且成立．  上述结论中，正确的选项是〔 〕．  〔A〕〔1〕〔4〕〔5〕  〔B〕〔1〕〔3〕〔4〕  〔C〕〔2〕〔4〕     〔D〕〔1〕〔5〕  5．一条直线和两条异面直线的一条平行，那么它和另一条的位置关系是〔 〕．  〔A〕平行或异面  〔B〕异面  〔C〕相交  〔D〕相交或异面  6．如图，空间四边形ABCD中，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，假设BD＝m，那么MN＝__________．  7.如图，是一个正方体的展开图，如果将它复原为正方体，那么AF、BC、DE这三条线段所在直线是异面直线的是__________，它们所成的角为________度。jz* ..四、练习答案：  1.提示:根据平面的无限延展性及平面画法来判断．  答案:〔C〕．  2.提示：根据点与平面应用“〞“〞连接排除A；根据公理两个平面相交为一条直线，排除B；再跟据图形可排除D，因为A有可能在平面上．  答案：〔C〕．  3.提示:熟悉点与线，点与平面的关系，正确使用“〞、“〞等符号．  答案:.  4.提示：根据异面直线定义“不同在任何一个平面内，没有公共点的两条直线叫异面直线〞，结合图形可排除〔2〕、〔3〕、〔4〕．〔∵〔2〕中可能有a∥b，〔3〕中可能有a∥b，〔4〕可能有a与b相交或平行．〕〔5〕是正确的，再由直线位置关系可得〔1〕也是正确的．  答案：〔D〕．  5.提示：由公理可排除〔A〕，再结合图形可利用平移方法验证．jz* ..  答案：〔D〕．  6.提示：重心是三条中线的交点，并分每条中线的比为2∶3．连结AM并延长交BC于E，连结AN并延长交CD于F，再连结MN、EF，根据三角形重心性质得BE＝EC，CF＝FD．  ∴MNEF，EFBD．  ∴MNBD ∴MN＝m．  答案：m．  7.解析：展开图复原成正方体如下列图〔C点与D点重合〕，成异面直线的是AF与BC〔或BD)，AF与BC所成角即为CE与BC所成角，为60度。jz*