空间中直线与直线之间的位置关系教学设计

《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计一、教学内容：人教版新教材高二数学第二册第二章第一节第2课二、教材分析：直线与直线问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。三、教学目标：（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握平行角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。四、教学重、难点：1．重点:了解空间中两条直线的位置关系,理解并掌握公理4。2．难点:理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力。五、教学理念：师生的共同讨论与讲授法相结合；学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；了解空间中直线与直线的位置关系；让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。了解理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力。让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。六、教学过程：（一）引入1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2、教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：3、引导学生完成课本P50探究（二）新课1．师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？生：平行2．再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线=>a∥ca∥bc∥b3．强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。4．讲解例2（投影片）让学生掌握了公理4的运用5．引导学生完成课本P51探究，让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。（三）探究1、组织学生思考教材P51的思考题（投影）让学生观察、思考：∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC=A'D'C'，∠ADC+∠A'B'C'=18002．教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。3．以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。 （2）强调：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0，］；③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，往往通过平移其中一条直线把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角。4．引导学生完成课本P52探究5．讲解例3（投影）让学生掌握了如何求异面直线所成的角，从而巩固了所学知识。（四）练习课本P53练习1、2（五）小结1．空间两条直线的位置：平行、相交及异面.2．公理4及平行角定理.公理4：平行于同一直线的两直线平行平行角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补。3．两条异面直线所成的角（往往通过平移化为平面角）。（六）作业课本P58习题2.1A组3、6；B组1（七）反思（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。（3）让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。（八）拓展例1如下图，四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3.求证：EF、GH、BD交于一点.证明：连结GE、HF，∵E、G分别为BC、AB的中点，∴GE∥AC.又∵DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3，∴HF∥AC.∴GE∥HF. 故G、E、F、H四点共面.又∵EF与GH不能平行，∴EF与GH相交，设交点为O.则O∈面ABD，O∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD.∴EF、GH、BD交于一点.评述：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线.说明：利用平移公理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题.例2.如下图，已知空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，MN=7，求异面直线AC与BD所成的角.解：取BC的中点E，连结EN、EM，∴∠MEN是异面直线AC与BD所成的角或其补角.在△EMN中，EN==3，EM==5，MN=7，cos∠MEN=－，∴∠MEN=120°.∴异面直线AC与BD所成的角是60°.