课后导练基础达标1两条异面直线的公垂线指的是()A.和两条异面直线都垂直的直线B.和两条异面直线都垂直相交的直线C.和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段D.和两条异面直线都垂直的所有直线解析:两异面直线的公垂线必须满足两个条件:(1)与两异面直线都垂直;(2)都相交.答案:B2两条直线a、b分别和异面直线c、d都相交,则直线a、b的位置关系是()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.可能是平行直线D.可能是异面直线,也可能是相交直线解析:a与b可能异面〔图①〕也可能相交〔图②〕.答案:D3一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.相交或异面解析:已知a与b异面,a∥l,则l与b相交或异面(如图).答案:D4分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是…()A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析:如图正方体中:AB与BC相交;AB与CD异面;AE∥CD.答案:D5长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()A.2对B.3对C.6对D.12对解析:长方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线AC1成异面直线的棱有:BB1;BC;A1B1;A1D1;DD1;DC.答案:C6四面体PABC中,PA⊥BC,E、F分别为PC、AB的中点,若EF与PA、BC成的角分别为α、β,则α+β等于()A.30°B.60°C.90°D.45°解析:如图取PB的中点D,连结DE、DF.
∵E、F分别为PC、AB中点,∴DF∥PA,DE∥BC.∵PA⊥BC,∴∠EDF=90°,又∠DEF=β,∠DFE=α,∴α+β=90°,故选C.答案:C7“a、b是异面直线”是指()①a∩b=且a不平行于b②a平面α,b平面β且a∩b=③a平面α,b平面α④不存在平面α,使aα且bα成立A.①②B.①③C.①④D.③④解析:由异面直线的定义知:这两条直线不同在任何一个平面内,即它们既不平行,也不相交,应选①④.答案:C8如图,已知不共面的直线a、b、c相交于O点,M、P是直线a上的两点,N、Q分别是直线b、c上的一点.求证:MN和PQ是异面直线.证明:假设MN和PQ共面于α,则M∈α,P∈α,又M∈α,P∈α,∴aα,又a∩b=O,∴O∈α又N∈α,且O∈b,N∈b,∴bα,∴a与b都在平面α内,同理,可证C也在α内,与a,b,c不共面矛盾.所以假设错误,故MN与PQ是异面直线.综合应用9把两条异面直线看成“一对”,正六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有________对.解析:如图,若成异面直线,则必是底边与侧棱各取一条,在底面上任取一条,如AB其异面直线为PF,PE,PD,PC共4对,∴4×6=24对.答案:24
10一条直线和这条直线外不共线的三个点,能够确定平面的个数是()A.1B.4C.3D.1或3或4解析:有三种情况:①直线与三点共一个面;②直线与三个点分别组成平面,则有三个;③在②的基础上,这三个点确定一个面,则有4个.选D.答案:D11已知:a、b是异面直线,a上有两点A、B,距离为8,b上有两点C、D,距离为6,BD、AC的中点分别为M、N,且MN=5,求证:a⊥b.证明:如图所示,连结BC,取BC的中点P,连MP、NP.在四边形ABCD中,MP是中位线,∴MP∥DC,且MP=DC=3.同理,NP∥AB且NP=AB=4,在△PMN中,∵MP2+NP2=42+32=52=MN2,∴MP⊥NP,即MP和NP所成的角为90°.∴MP∥CD,NP∥AB,∴MP和NP所成的角等于a,b所成的角,∴a,b所成的角为90°,∴a⊥b.拓展探究12如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,求证:(1)D、B、F、E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于R点,则P、Q、R三点共线.证明:(1)∵EF是△C1D1B1的中位线,∴EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,∴EF∥BD,∴EF和BD可确定一个平面,即D、B、E、F四点共面.(2)正方体AC1中,设A1ACC1确定的平面为α,又设平面DBFE为β.∵Q∈A1C1,∴Q∈α.又Q∈EF,∴Q∈β.∴Q是α与β的公共点.同理,P点也是α与β的公共点,∴α∩β=PQ.又∵A1C∩β=R,∴R∈α.又∵R∈β,∴R∈α∩β=PQ.故P、Q、R三点共线.