空间中直线与直线之间的位置关系方法指引_老师

空间中直线与直线之间的位置关系·方法指引 （1）证明两条直线异面的方法证明两条直线异面的方法有两种：①用定义证明：此时需用反证法，假设两条直线不异面，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即这两条直线可能相交也可能平行，然后，推导出矛盾即可．②用定理证明：用该法证明时，必须阐述出定理满足的条件aÌa，AÏa，B∈a，BÏa，然后可以推导出直线a与AB是异面直线，以下我们将该结论作为例题12进行论证，从而使我们在应用它时能够“理直气壮”．【例1】求证：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线．思路点拨如图2．1．2—17，已知aÌα．AÏα，B∈α，BÏα．要求证直线AB与a是异面直线，若是用定义来证明两直线不同在任何一个平面内，我们很难办到，但我们可以考虑从问题的反面入手，即使用反证法证明．解：假设直线AB与a在同一平面内，那么这个平面一定经过点B和直线a．∵B∈α，经过点B和直线a只能有一个平面α，∴直线AB与a应在α内．∴A∈α．这与已知AÏα相矛盾，∴直线AB与a是异面直线．误点剖析不会从问题的反面入手，导致思路受阻．评注：（1）反证法是证明两直线为异面直线的常用方法，也是较有效的方法，反证法的证明思路是“否定结论，找矛盾”．具体可分解为以下三步：①假设结论不正确，即否定结论；②找矛盾：在假设的前提下，通过正确的逻辑推理，得到矛盾，矛盾可以是与已知公理、定理、定义矛盾，也可以是与已知条件矛盾，或自相矛盾等等；③否定假设，肯定要证明的结论．（2）本例的结论，可以做为判定定理来判定两直线为异面直线，此命题可用数学语言描述为：若aÌα，AÏα，B∈α，BÏa，则直线AB与a是异面直线．试解相关题1.1已知a、b是一对异面直线，而直线c、d是与a、b都相交的两直线，若在a、b、c、d四条直线中，无三线共点的情况．试证明：c、d是异面直线．参考答案：采用反证法1.2在正方体ABCD—A1BlClD1中，求证：ACl与BD异面．参考答案：略【例2】如图2．1．2—18，已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD和BC是异面直线．7 思路点拨此题我们既可以用反证法证明，也可以用例12的结论作为判定定理来证明．证法一：（反证法）：假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面相矛盾．∴AD与BC是异面直线．证法二：（直接用判定定理）：∵a∩c＝P，∴a和c确定一个平面，设为β，巳知CÏ平面β，B∈平面β，ADÌ平面β，BÏAD，∴AD和BC是异面直线．误点剖析在证法二中，若缺少耐心，不交待满足定理的条件就得到结论，造成证明过程的不完整和缺乏严密性，因此，当我们在用判定定理证明两直线为异面直线时，一定要注意判定定理的四个条件必须交待完整，缺一不可．评注：本题充分体现了证明异面直线的两种方法：①反证法；②用例12的判定定理直接证明．试解相关题2.l如图2．1．2—19，a，b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，E、F分别为线段AC和BD的中点，判断直线EF和a的位置关系，并证明你的结论．参考答案：EF和a是异面直线，可用反证法证明．（2）两异面直线所成角的求法求两条异面直线所成角的关键是作出异面直线所成的角，作两条异面直线所成角的方法是：将其中一条平移到某个位置使其与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使它们相交．值得注意的是：平移后相交所得的角必须容易算出，因此平移时要求选择恰当位置．【例3】S是边长为a正三角形ABC所在平面外一点，SA＝SB＝SC＝a，E、F分别是SC和AB的中点，（1）求异面直线SA与EF所成的角；（2）求异面直线AE和SF所成角的余弦值．思路点拨（1）如图2．1．2—20，∵E是SC的中点，要平移SA使之与EF相交，只需取AC中点M，连EM，则EM为△ACS的中位线，∴EM∥SA∴EM与EF所成的角即为所求（2）如图2．1．2—20，在△SCF中，只要把SF平移到E点就可以了，∵E为SC中点，∴仍考虑用三角形中位线来实现平移，取CF的中点G，连接GE∥SF∴∠GEA（或其补角）即为SF与AE所成的角．7 解：（1）取AC的中点M，连接EM、FM，则由三角形中位线定理知EM∥SA且EM＝SA，MF∥BC且MF＝BC，∴∠MEF（或其补角）是SA与EF所成的角，在△EMF，EM＝SA＝，FM＝BC＝，连接FC，由题设条件易知：△FCE为直角三角形，∴EF＝∴△EMF为等腰直角三角形，∴∠MEF＝45°，∴异面直线SA与EF所成的角为45°．（2）连接CF并取其中点G，连接EG、AG，则EG∥SF且EG＝SF，∴∠GEA（或其补角）是异面直线SF与AE所成的角在△AGE中，AE＝，EG＝，在Rt△AGF中，∴由余弦定理得：cos∠AEG＝，∴异面直线AE和SF所成的角的余弦值为．误点剖析①这里的计算量较大，易造成运算错误；②当平移两条异面直线中的一条后获得的角是钝角，则不能将这个角作为异面直线所成的角，而应将它补角作为异面直线所成的角，关于这一点，极易在具体问题中出错，需引起注意．评注：在求异面直线所成的角时，可以平移两条异面直线中一条，也可以平移两条，原则是易于作图，且平移各线段的长度易于计算，如：本例中（2）也可以平移两条直线，依据仍然是三角形的中位线，如图2．1．2—20，取SA的中点K把AE、SF均平移到K7 点相交，为此可取SE和AF的中点G、H，连接GK、HK即可，在△GHK中，GK＝HK＝，但GH的求解却很麻烦，∴这种平移就不如本例中给出的方法好．试解相关题3.1如图2．1．2—21，S是正△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，M、N分别是AB和SC的中点，求异面直线SM与BN所成角．参考答案：arccos【例4】已知空间四边形ABCD中，AB＝CD＝3，E、F分别是BC、AD上的点，并且BE∶EC＝AF∶FD＝1∶2，EF＝（见图2．1．2—22），求AB和CD所成角的大小．思路点拨由于受本题图形的局限，所以在选择适当的点，平移异面直线时，该点不宜选在AB与CD上，从题设条件看，应将它选在对角线BD的靠近B点的三等分点G处，再将G与E、F相连，还要连EF，于是异面直线AB与CD所成的角就是∠EGF（或∠EGF的补角）．而∠EGF的大小可以在△EGF中通过计算求得．解：如图2．1．2—22，连结BD，在BD上取点G，使BG∶GD＝l∶2，连结EG、FG、EF．△BCD中，∵，∴EG∥CD；同理FG∥AB，∴EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD所成的角．△BCD中，∵EG∥CD，CD＝3，EG∶CD＝1∶2，∴EG＝1△ABD中，∵FG∥AB，AB＝3，FG∶AB＝2∶3，∴FG＝2在△EFG中，EG＝1，FG＝2，EF＝，由余弦定理，得：cos∠EGF＝．∴∠EGF＝120°，由于异面直线AB和CD所成的角是锐角或直角，7 ∴AB与CD所成的角为60°．误点剖析误将∠EGF作为所求AB与CD的角．评注：求异面直线所成角的一般步骤是：①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点，如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条上的特殊点．②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算．③因为异面直线所成的角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以当在三角形中求的交角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．试解相关题4.l如图2．1．2—23，在空间四边形ABCD中，AB＝CD＝8，M、N分别是BD、AC的中点，若异面直线AB与CD成的角为60°，求MN的长．参考答案：或4（3）异面直线间距离的求法如何求异面直线间的距离?简单地说，运用“定义法”，即设法作出异面直线的公垂线段．再设法求出它的长；又由于异面直线的距离具有“存在性”、“唯一性”和“最小性”（即公垂线段是分别在两异面直线上任意两点间的连线中长度最短的一条线段），抓住“最小性”就能产生“最小值法”．即设法建立起两端点分别在两异面直线上的线段长的函数，然后求函数的最小值．【例5】如图2．1．2—16，长方体ABCD—A1B1ClD1中，AB＝2，AD＝1．求异面直线AA1与BD间的距离思路点拨先作出公垂线段后，再计算公垂线段的长即得所求．解：过点A作AE垂直BD，E为垂足．由于AlA⊥AE，∴AE是异面直线AA1与BD的公垂线段在Rt△BAD中，两直角边的长分别为：AB＝2，AD＝1∴AE＝∴异面直线AA1与BD间的距离为误点剖析误点有两个，一个是作不出异面直线的公垂线，迷失计算方向；另一个是作出异面直线公垂线，但不给予论证，导致证明缺乏严密性．评注：求两异面直线间的距离，我们常常采用“作、证、算”三个步骤，这里所谓“作”即作出公垂线；“证”即证明作出的公垂线与两异面直线都垂直且都相交；“算”7 即计算公垂线段的长．【例6】在空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD＝a，E、F分别是AB、CD的中点．（1）求证：EF是AB和CD的公垂线段；（2）求AB和CD的距离．思路点拨利用等腰三角形底边上的中线即是高的性质，从而易证EF就是异面直线AB和CD的公垂线段，只须解Rt△FEB即可（如图2．1．2—24所示）．解：（1）如图2．1．2—24所示．连AF、BF．∵△BCD与△ACD为边长为a的正三角形，F为CD的中点．∴AF＝BF＝a．又E为AB的中点，∴EF与AB垂直相交，同理EF⊥CD．∴EF为AB、CD的公垂线段（2）由（1）知，EF为AB和CD的距离，在Rt△FEB中，∵，BE＝∴EF＝即AB和CD间的距离为误点剖析不会利用等腰三角形的性质；计算EF的长时不能构造Rt△FEB．试解相关题6.1如图2．1．2—16，在长方体ABCD—A1B1ClDl中，若AA1＝m，AB＝n，BC＝l，则异面直线AA1与BC间的距离为________；异面直线AB与B1C间的距离为________．参考答案：（1）n；（2）评注：①本例考查我们对两条异面直线间距离概念的理解、以及论证与计算能力．②用“定义法”求异面直线间的距离的步骤可简单地归纳为：一作，二证，三计算．试解相关题6.2在图所示的边长为a的正方体ABCD—A1BlC1D1中，O、M分别是D1B、AAl的中点．7 （1）求证：MO是AAl与BD1的公垂线段；（2）求异面直线AA1与BD1的距离．参考答案：（1）（略）；（2）6—3如图2．1．2—26，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别在其面对角线A1B、B1Dl上运动，且A1M＝D1N，求MN的最小值．参考答案：提示：过N作NG⊥A1B1，连MG、MN构造Rt△NGM，从而可利用勾股定理求得MN的最小值为．7