2.1.4空间中直线与直线之间的位置关系
问题:平面几何中,两条直线的位置关系:平行或相交在空间中是否还是如此呢?
立交桥
ABCD六角螺母
定义1:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。注:概念应理解为:“经过这两条直线无法作出一个平面”.或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”.注意:分别在某两个平面内的两条直线不一定是异面直线,它们可能是相交,也可能是平行.一、异面直线:
想一想:在空间中两条直线的位置关系?(1)相交直线——有且只有一个公共点(2)平行直线——在同一平面内,没有公共点(3)异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点
二、空间两直线的位置关系:(1)从公共点的数目来看,可分为:①有且只有一个公共点——两直线相交②没有公共点两直线平行两直线为异面直线
(2)从平面的性质来讲,可分为:两直线相交①在同一平面内两直线平行②不在同一平面内——两直线为异面直线
异面直线的画法:Abababa
A1B1C1D1CBDA练习:如图:正方体的棱所在的直线中,与直线A1B异面的有哪些?答案:D1C1、C1C、CD、D1D、AD、B1C1
探究:HGCADBEFGHEF(B)(C)DAAB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对?相交直线有几对?平行直线有几对?2对3对1对
abced我们知道,在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?观察:将一张纸如图进行折叠,则各折痕及边a,b,c,d,e,…之间有何关系?a∥b∥c∥d∥e∥…公理4:在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.———平行线的传递性推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.
空间四边形:如图,顺次连结不共面的四点A、B、C、D所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.ABCD相对顶点A与C,B与D的连线AC、BD叫做这个空间四边形的对角线.
例1:已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,连结EF,FG,GH,HE,求证EFGH是一个平行四边形。解题思想:∵EH是△ABD的中位线∴EH∥BD且EH=BD同理,FG∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一个平行四边形证明:连结BD把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。ABDEFGHC
在平面内,我们可以证明“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补”.空间中这一结论是否仍然成立呢?
观察:如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC与∠A1D1C1,∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?答:从图中可看出,∠ADC=∠A1D1C1,∠ADC+∠A1B1C1=180OD1C1B1A1CABD
问题:在空间中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等吗?αβ
方向相同或相反,结果如何?αβγ
一组边的方向相同,而另一组边的方向相反,又如何?αβ
三、等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.注意:(1)定理中的“方向相同”若改成“方向相反”,则这两个角也相等。(2)若改成“一边方向相同,而另一边方向相反”,则这两个角互补。
三、异面直线所成角的定义:直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a1∥a,b1∥b,把直线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。平移法
如果两条异面直线所成的角为直角,那么就称这两条异面直线垂直。异面直线a和b所成的角的范围:
强调:1)范围2)与0的位置无关;3)为了方便点O选取应有利于解决问题,可取特殊点(如a或b上);4)找两条异面直线所成的角,要作平行移动(平行线),把两条异面直线所成的角,转化为两条相交直线所成的角.
45o例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数。
例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直?(3)直线与直线都垂直.
NEXTBACK求异面直线所成的角的步骤是:一作(找):作(或找)平行线二证:证明所作的角为所求的异面直线所成的角。三求:在一恰当的三角形中求出角注4四、异面直线所成角的求法:
例3:在正方体ABCD-A’B’C’D’中,棱长为a,E、F分别是棱A’B’,B’C’的中点,求:①异面直线AD与EF所成角的大小;②异面直线B’C与EF所成角的大小;③异面直线B’D与EF所成角的大小.平移法OGAC∥A’C’∥EF,OG∥B’DB’D与EF所成的角即为AC与OG所成的角,即为∠AOG或其补角.
如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解答:(1)∵GF∥BC∴∠EGF(或其补角)为所求.Rt△EFG中,求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG(或其补角)为所求,Rt△BFG中,求得∠FBG=60o5.课堂练习ABGFHEDC2
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义:相交直线平行直线异面直线空间两直线的位置关系6.课堂小结公理4:在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.异面直线的求法:一作(找)二证三求空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.等角定理:异面直线的画法用平面来衬托异面直线所成的角平移,转化为相交直线所成的角
作业:P56:4,6
再见!立体几何