空间中直线与平面之间的位置关系

第二章点、直线、平面之间的位置关系（1）空间中点、直线、平面之间的位置关系一、平面1．平面含义：①没有大小之分，②没有厚度，③平面是平的且可以无限延展的2．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．符号表示为Al,BllA,B(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．若A，B，C不共线，则A，B，C确定平面推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．若Al，则点A和l确定平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．若mnA，则m,n确定平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．若mn，则m,n确定平面(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．P,Pl且Pl(4)公理4：（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递性）ab,cbac四个公理的作用(1)公理1：①判断直线在平面内；②由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公理2：公理2及其推论的作用①确定一个平面，②判断“直线共面”的方法．(3)公理3：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．(4)公理4：判断空间两条直线平行的依据。强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。(5)等角定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补。aa,bb且1与2方向相同1＝2aa,bb且1与2方向相反12＝180作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。 二、直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类空间的两条直线有如下三种关系：共面直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交）注：判定异面直线的两种方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．注意点：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；②三步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解③两条异面直线所成的角取值范围：[0。,90。].④当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；⑤两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；三、直线与平面的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．符号a直线与平面相交——有且只有一个公共点符号aA直线与平面平行——没有公共点符号a说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a来表示四、平面与平面的位置关系平行——没有公共点：符号a相交——有一条公共直线：符号a [当堂练习]1、下列图形不一定是平面图形的是（A三角形B四边形2、共点的三条直线可确定几个平面C圆）D梯形（）A1B2C3D1或33、不共线的四点可以确定个平面。4、下列说法①若一条直线和一个平面有公共点，则这条直线在这个平面内②过两条相交直线的平面有且只有一个③若两个平面有三个公共点，则两个平面重合④两个平面相交有且只有一条交线⑤过不共线三点有且只有一个平面其中正确的有。5、空间两条互相平行的直线指的是（）A在空间没有公共点的两条直线B分别在两个平面内的两条直线C分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D在同一平面内且没有公共点的两条直线6、正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线BD异面且成600角的面对角线有（）条。A4B3C2D17、一条直线和一个平面平行，夹在这条直线和平面间的两条线段相等，则这两条线段的位置关系是（）A平行B相交C异面D以上均有可能8、下列命题中正确的个数是()．①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点A．0个B．1个C．2个D．3个9．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(写出所有正确结论的序号)．10.如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．11．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a平面α，b平面β，则a，b一定是异面直线；⑤若a，b与c成等角，则a∥b.其中正确的命题是________(写出全部正确结论的序号)．三、解答题12．A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．