空间点、直线、平面之间的位置关系x

空间点、直线、平面之间的位置关系本资料分享自千人教师QQ群323031380期待你的加入与分享 8.4.1平面 1.平面的概念几何里所说的“”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的。几何里的平面是无限延展的。平面 【思考】几何中的平面有什么特点？提示：（1）平面是平的。（2）平面是没有厚度的。（3）平面是无限延展而没有边界的。 2.平面的画法（1）水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍。如图①。 （2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来。如图②。 3.平面的表示法如图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD。 4.点、线、面之间的关系（1）直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l。 （2）直线、平面都可以看成点的集合。点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P∉l；点P在平面α内，记作P∈α；点P在平面α外，记作P∉α；直线l在平面β内，记作l⊂β；直线l在平面α外，记作l⊄α。 【思考】直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？ 答案：点和直线、平面的位置关系可用数字符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“⊂”或“⊄”表示。 5.平面的基本事实及推论基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实内容图形符号基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本事实内容图形符号基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β=l，且P∈l 推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（图①）。推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面（图②）。推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面（图③）。 【思考】三个基本事实各有什么作用？提示：基本事实1：确定平面。基本事实2：确定直线在平面内。基本事实3：确定两个平面相交，确定三点共线、三线共点。 【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）一条直线和一个点可以确定一个平面。（）（2）四边形是平面图形。（）（3）两条相交直线可以确定一个平面。（） 【解析】（1）×。一条直线和直线外一个点可以确定一个平面。（2）×。四边形不一定是平面图形。（3）√。两条相交直线可以确定一个平面。 2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为（）A.平面MNB.平面NQC.平面αD.平面MNPQ 【解析】选A。表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP。 3.已知α与β是两个不重合的平面，则下列推理正确个数是________。①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β=AB③l⊄α，A∈l⇒A∉α④A∈l，l⊂α⇒A∈α 【解析】由基本事实2知，①正确；由基本事实3知，②正确；若l∩α=A，显然有l⊄α，A∈l，但是A∈α，③错误；④正确。答案：3 类型一 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化【典例】1.点P在直线a上，直线a在平面α内可记为（）A.P∈a，a⊂αB.P⊂a，a⊂αC.P⊂a，a∈αD.P∈a，a∈α 2.用符号表示下列语句，并画出图形。（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B。（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上。 【思维·引】解决本例的关键是，要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义。 【解析】选A。2.（1）用符号表示：α∩β=l，a∩α=A，a∩β=B，如图。 （2）用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α=C，C∉AB，如图。 【内化·悟】根据题目给出符号语言作图时，要注意哪些问题？ 提示：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意分清点线面之间的关系，作图时要注意实线和虚线的区别。 【类题·通】三种语言的转换方法（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示。 （2）要注意符号语言的意义。如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”。 【习练·破】根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形。（1）A∈α，B∉α。（2）l⊂α，m∩α=A，A∉l。（3）P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α。 【解析】（1）点A在平面α内，点B不在平面α内。（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上。（3）直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q。图形分别如图①，②，③所示。 类型二 点、线共面问题【典例】证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内。 【思维·引】证明多线共面，一般先选取两条直线构造一个平面，然后证明其他直线都在这个平面内。 【解析】已知：如图所示，l1∩l2=A，l2∩l3=B，l1∩l3=C。求证：直线l1，l2，l3在同一平面内。 【证明】方法一（纳入法）：因为l1∩l2=A，所以l1和l2确定一个平面α。因为l2∩l3=B，所以B∈l2。又因为l2⊂α，所以B∈α。同理可证C∈α。又因为B∈l3，C∈l3，所以l3⊂α。所以直线l1，l2，l3在同一平面内。 方法二（重合法）：因为l1∩l2=A，所以l1、l2确定一个平面α。因为l2∩l3=B，所以l2、l3确定一个平面β。因为A∈l2，l2⊂α，所以A∈α。因为A∈l2，l2⊂β，所以A∈β。 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β。所以不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内。所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内。 【内化·悟】在该例中，如何确定一个平面，确定平面的理论依据是什么？如何判断一条直线在平面内，理论依据是什么？ 提示：确定平面，可以根据基本事实1或三个推论，在本例中，确定平面的依据是推论2；判断一条直线在平面内，关键是找到这条直线上的两个点在这个平面内，理论依据是基本事实2。 【类题·通】证明直线共面常用的方法（1）纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内。（2）重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合。 【习练·破】下列说法正确的是（）①任意三点确定一个平面；②圆上的三点确定一个平面；③任意四点确定一个平面；④两条平行线确定一个平面。A.①②B.②③C.②④D.③④ 【解析】选C。不共线的三点确定一个平面，所以①错；圆上的三点一定不共线，所以可以确定一个平面，②对；如果四点共线，无法确定平面，所以③错；根据推论3，两条平行线确定一个平面，所以④对。 类型三 点共线、线共点问题角度1三点共线问题【典例】如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O。求证：B，D，O三点共线。 【思维·引】先证O∈平面ABD以及O∈平面BCD，从而O∈平面ABD∩平面BCD，又平面ABD∩平面BCD=BD，从而O∈BD，得证B，D，O共线。 【证明】因为E∈AB，H∈AD，所以E∈平面ABD，H∈平面ABD。所以EH⊂平面ABD。因为EH∩FG=O，所以O∈平面ABD。同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD，所以O∈BD，即B，D，O三点共线。 【素养·探】证明三点共线问题时，常用到逻辑推理的核心素养。若把本例改为：已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α=P，BC∩α=Q，AC∩α=R，如图所示。求证：P，Q，R三点共线。 【证明】因为AP∩AR=A，所以直线AP与直线AR确定平面APR。又因为AB∩α=P，AC∩α=R，所以平面APR∩平面α=PR。因为B∈平面APR，C∈平面APR，所以BC⊂平面APR。因为Q∈BC，所以Q∈平面APR，又Q∈α，所以Q∈PR，所以P，Q，R三点共线。 角度2三线共点问题【典例】如图，在四面体ABCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3，求证：EF，GH，BD交于一点。 【思维·引】EF，GH交于一点⇒BD经过EF与GH交点⇒EF、GH、BD共点。 【证明】如图可知，平面ABD∩平面BCD=BD。 易知FH∥AC且FH=AC，GE∥AC且GE=AC，所以FH∥GE且GH，EF交于点O。因为GH⊂平面ABD，O∈GH。所以O∈平面ABD。 因为EF⊂平面BCD，O∈EF。所以O∈平面BCD，因为平面ABD∩平面BCD=BD，所以O∈BD。所以EF，GH，BD交于一点。 【类题·通】证明三线共点常用的方法（1）先说明两条直线共面且交于一点，然后说明这个点在两个平面内。于是该点在这两个平面的交线上，从而得到三线共点。 （2）也可以说明a，b相交于一点A，b与c相交于一点B，再说明A，B是同一点，从而得到a，b，c三线共点。注意：证明线共点主要利用基本事实1，基本事实3作为推理的依据。 【习练·破】如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点。求证：FE，HG，DC三线共点。 【证明】如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1∥EB，且HC1=EB， 所以四边形HC1BE是平行四边形，所以HE∥C1B。又C1G=GC，CF=BF，所以GF∥C1B，且GF=C1B。所以GF∥HE，且GF≠HE， 所以HG与EF相交。设交点为K，所以K∈HG，HG⊂平面D1C1CD，所以K∈平面D1C1CD。因为K∈EF，EF⊂平面ABCD，所以K∈平面ABCD， 因为平面D1C1CD∩平面ABCD=DC，所以K∈DC，所以EF，HG，DC三线共点。 8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系 1.异面直线（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线。（2）异面直线的画法。 2.空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点 【思考】分别在不同平面内的两条直线是异面直线吗？提示：不一定。分别在两个平面内的直线，既可以是平行直线，也可以是相交直线，还可以是异面直线。 3.直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个公共点一个公共点没有公共点 位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行符号表示a⊂αa∩α=Aa∥α图形表示 【思考】可以根据公共点的个数判断直线与平面的位置关系吗？提示：可以，0个公共点时，直线与平面交行；1个公共点时，直线与平面相交；多个公共点时，直线在平面内。 4.两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点（在一条直线上）符号表示α∥βα∩β=l图形表示 【思考】判断平面与平面相交时的理论依据是什么？提示：判断平面与平面相交时的理论依据是基本事实3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）两条直线无公共点，则这两条直线平行。（）（2）过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线。（）（3）若直线与平面不相交，则直线与平面平行。（）（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。（） 【解析】（1）×。空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面。（2）×。过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线。 （3）×。若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行。（4）×。当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行。 2.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交 【解析】选B。一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条相交或异面。 3.已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则（）A.过P，Q的平面一定与α，β都相交B.过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行C.过P，Q的平面不一定与α，β都平行D.过P，Q可作无数个平面与α，β都平行 【解析】选C。当过P，Q的直线与α，β相交时，过P，Q的平面一定与平面α，β都相交，排除B，D；当过P，Q的直线与α，β都平行时，可以作唯一的一个平面与α，β都平行，排除A。 类型一 空间两条直线的位置关系【典例】1.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为（）A.1B.2C.3D.4 2.如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________（填序号）。 【思维·引】1.把展开图还原成空间图形，再进行判断。2.根据异面直线的定义，保证两条直线不同在任何一个平面内。 【解析】1.选C。把平面展开图折合成正方体，观察相对位置的变化，可知AB与CD，EF与GH，AB与GH是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行。故异面直线有且仅有3对。 2.如题干图①中，直线GH∥MN；题干图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题干图③中，连接MG（图略），GM∥HN，因此，GH与MN共面； 题干图④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以GH与MN异面。答案：②④ 【内化·悟】平面几何中的定理、结论在空间几何体中能直接使用吗？提示：不能。要把关于平面图形的结论推广到空间图形，必须经过证明，绝不能单凭自己的主观猜测。 【类题·通】1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍（1）建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系。特别关注异面直线。 （2）重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系。 2.判定两条直线是异面直线的方法（1）证明两条直线既不平行又不相交。 （2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线。 【习练·破】1.若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则（）A.a∥cB.a，c是异面直线C.a，c相交D.a，c平行或相交或异面 【解析】选D。若a，b是异面直线，b，c是异面直线，那么a，c可以平行，可以相交，可以异面。 2.若直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c（）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线 【解析】选C。若a∥b，a，c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c。 类型二 直线与平面的位置关系【典例】1.若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是（）A.直线上所有的点都在平面外B.直线上有无数多个点都在平面外C.直线上有无数多个点都在平面内D.直线上至少有一个点在平面内 2.下列四个命题中正确命题的个数是（）①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；④如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α。A.0B.1C.2D.3 【思维·引】1.根据直线上有一点在平面外，判断直线与平面的位置关系，再判断结论的对错。2.根据题意叙述，适当构造图形，判断直线与平面的位置关系。 【解析】1.选B。直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外。 2.选B。如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确； ③中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确；④显然不正确。 【内化·悟】在本例2中必须构造正方体才能解决这个问题吗？提示：本题中，也可以不构造正方体，根据每个小题的叙述，逐题作图，判断。 【类题·通】在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断。 【习练·破】1.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A.α内的所有直线都与直线a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线都与a相交D.直线a与平面α有公共点 【解析】选D。直线a不平行于平面α，则a与平面α相交或a⊂α。 2.一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是（）A.l∥αB.l⊥αC.l与α相交但不垂直D.l∥α或l⊂α 【解析】选D。当l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；当l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；当l⊥α时，直线l上到α的距离相等且不为0的点有两个；当l与α斜交时，直线l上到α的距离相等且不为0的点有两个。 类型三 平面与平面的位置关系【典例】已知下列说法：①两平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线； ③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；⑤若两个平面α∩β=b，a⊂α，则a与β一定相交。其中正确的序号是________（将你认为正确的序号都填上）。 【思维·引】由平面间的位置关系逐一判断。 【解析】①错。a与b也可能异面。②错。a与b也可能平行。③对。因为α∥β，所以α与β无公共点。又因为a⊂α，b⊂β，所以a与b无公共点。④对。由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面。⑤错。a与β也可能平行。答案：③④ 【类题·通】1.平面与平面的位置关系的判断方法（1）平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点。（2）平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点。 2.常见的平面和平面平行的模型（1）棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行。（2）长方体的六个面中，三组相对面平行。 【习练·破】两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点。其中正确命题的个数有（  ）A.1B.2C.3D.4 【解析】选B。①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条平行，有一些是异面；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确。 谢谢