2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一．学习目标：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直.二．重点、难点： 重点： 难点：三．知识要点：1.空间两条直线的位置关系：2.已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）.所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作.求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.四．自主探究：（一）例题精讲：【例1】已知异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有（）.A.1条B.2条C.3条D.4条解：过P作∥a，∥b，若P∈a，则取a为，若P∈b，则取b为．这时，相交于P点，它们的两组对顶角分别为50°和130°.记，所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与，都成30°的直线．过点P与，都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是，所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B.【例2】如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点.（1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线.证明：（1）∵正方体中，，∴.又∵中，E、F为中点，∴.∴,即D、B、F、E四点共面.（2）∵，，，，∴.又，∴，，∴.即P、Q、R三点共线【例3】已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.证明：因为a//b，由公理2的推论，存在平面，使得.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，.假设，则,在平面内过点C作，因为b//c，则，此与矛盾.故直线.综上述，a、b、c、d四线共面.
点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件.此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.【例4】如图中，正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.解：（1）如图，连结DC1，∵DC1∥AB1，∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角.∵∠CC1D=45°，∴AB1和CC1所成的角是45°.（2）如图，连结DA1、A1C1，∵EF∥A1D，AB1∥DC1，∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.∵ΔA1DC1是等边三角形，∴∠A1DC1=60º，即直线AB1和EF所成的角是60º.点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易.解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路.第10练§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系五．目标检测：（一）基础达标1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）.A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能2．教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（）.A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．异面3．两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（）.A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.可能是平行直线D.可能是异面直线，也可能是相交直线4．把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（）.A.12B.24C.36D.485．正方体中，AB的中点为M，的中点为N，异面直线与CN所成的角是（）.A．30°B．90°C．45°D．60°EAFBCMND6．如图，正方体中，直线与所成角为______度.7．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60º角；④DM与BN垂直.以上四个说法中，正确说法的序号依次是.（二）能力提高8．已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB和CD所成的角的大小.
9．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点.（三）探究创新10．设异面直线a与b所成角为50°，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是θ的直线l有且仅有几条?
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