《空间中直线与直线之间的位置关系》公开课

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 问题：平面中不重合的两条直线有哪几种位置关系？空间中的两条直线呢？相交、平行、异面 立交桥 立交桥 正方体的棱与棱所在直线的位置关系. 1.异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。1)异面直线既不平行也不相交一、空间两条直线的位置关系2)定义中“任何”是指两条直线永远不具备确定平面的条件，即是不可能找到一个平面同时包含这两条直线；不能认为分别在两个平面内的两条直线叫异面直线。 异面直线直观图的画法 平行相交异面位置关系公共点个数是否共面没有只有一个没有共面不共面共面2、空间中两条直线的位置关系 2、空间两直线的位置关系分类(1)从公共点的个数来看，可分为：①有一个公共点：相交直线②没有公共点平行直线异面直线 2、空间两直线的位置关系：(1)从公共点的个数来看，可分为：①有一个公共点：相交直线②没有公共点平行直线异面直线(2)从是否共面来讲，可分为：①共面直线平行直线相交直线②异面直线. 练习1判断正误 练习1判断正误答案：(1)× 练习1判断正误答案：(2)× A1B1C1D1CBDA练习2如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？ 答案：D1C1、C1C、CD、D1D、AD、B1C1A1B1C1D1CBDA练习2如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？ 探究:HGCADBEFGHEF(B)(C)DA如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EE,GH这四条线段所在直线是异面直线的有对?答:共有三对 3、两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（）（A）一定是异面直线（B）一定是相交直线（C）可能是平行直线（D）可能是异面直线，也可能是相交直线4、一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )（A）平行（B）相交（C）异面（D）相交或异面DD 填空：1、空间两条不重合的直线的位置关系有________、________、________三种。2、没有公共点的两条直线可能是________直线，也有可能是________直线。3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系有______________。平行相交异面平行异面相交、异面 3、平行公理问题：我们知道，在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？ 3、平行公理平行吗?观察：如图,正方体中,与，那么∥∥， 公理4平行于同一条直线的两直线互相平行.bac3、平行公理 公理4平行于同一条直线的两直线互相平行.bac3、平行公理 二、空间直线的平行关系若a∥b，b∥c，1、平行关系的传递性caabccaα则a∥c。公理4的作用：它是判断空间两条直线平行的依据公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行． ABDEFGHC例2在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。 探究：在例2中，再加上什么条件，可以得到四边形EFGH是菱形?分析：在例题2的基础上我们只需要平行四边形的两条邻边相等。AC=BD 4.等角定理问题：在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢? 4.等角定理 4.等角定理 4.等角定理定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 5.异面直线所成的角的定义问题：在平面上,两条直线相交成4个角，我们把其中不大于90°的角称为它们的夹角。在空间中，我们同样可以考察两条直线的夹角。那么，两条异面直线的夹角应该如何定义呢？ 5.异面直线所成的角的定义 如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直。5.异面直线所成的角的范围两异面直线所成的角的范围是 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。相交垂直（有垂足）垂直异面垂直（无垂足）OααO因此，异面直线所成角的范围是（0，]3、特例： 求异面直线所成的角的步骤是:一作(找)：作（或找）平行线二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角。三求：在一恰当的三角形中求出角4、解题时，常将异面直线所成的角转化相交直线所成的角实现了空间问题平化。5、求异面直线所成的角的基本法则：作平行线，构三角形 例3、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'中。（1）直线BA'和CC'的夹角是多少？（2）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？ 练习3（1）如图，AA’是长方体的一条棱，长方体中与AA’平行的棱共有条。（2）如果OA∥O’A’,OB∥O’B’,那么∠AOB和∠A’O’B’. 练习3（1）如图，AA’是长方体的一条棱，长方体中与AA’平行的棱共有3条。（2）如果OA∥O’A’,OB∥O’B’,那么∠AOB和∠A’O’B’相等或互补. 练习4 练习4答案：（1）45°（2）60° 解：分别取AB、BC、CD、BD的中点，E、F、G、H，连接EF、FG、GH、EH、EG，HGFECDBA1P2 ABGFHEDC课堂练习1如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求(1)BE与CG所成的角？(2)FO与BD所成的角？解:(1)如图:∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又BEF中∠EBF=45，所以BE与CG所成的角是45ooO连接HA、AF，依题意知O为AH中点,∴∠HFO=30o(2)连接FH，所以FO与BD所成的夹角是30o∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角∵HDEA，EAFB∴HDFB∥=∥=∥=则AH=HF=FA∴△AFH为等边△ 如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解答：(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其补角）为所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其补角）为所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60o课堂练习2ABGFHEDC2 课堂小结这节课我们学习了（1）异面直线（2）空间中两条直线的位置关系（3）平行公理、等角定理（4）异面直线所成角的定义、范围及计算