2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系学习目标核心素养1.会判断空间两直线的位置关系．(易错点)2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角．(难点、易错点)3.能用公理4解决一些简单的相关问题.(重点)1.通过对空间直线位置关系的学习，培养直观想象的数学核心素养；2.通过求异面直线所成角及公理4的运用，培养逻辑推理、直观想象的数学核心素养．1．空间直线的位置关系(1)异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图①②所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．① ②(3)空间两条直线的三种位置关系①从是否有公共点的角度来分：②从是否共面的角度来分：思考：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？[提示] 不一定.可能平行、相交或异面．2．公理4及定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：a∥b，b∥c⇒a∥c．(2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．异面直线所成的角-9-
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).(2)范围：0°＜θ≤90°．特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b．1．空间任意两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为( )A．60° B．120° C．30° D．60°或120°D [α与β相等或互补，β为60°或120°，故选D.]2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是( )A．共面B．平行C．异面D．平行或异面D [平行直线和异面直线都没有公共点，故应选D.]3．如图所示，正方体ABCDA′B′C′D′中，异面直线A′B′与BC所成的角为________．异面直线AD′与BC所成的角为________．90° 45° [∵BC∥B′C′，∴∠A′B′C′即异面直线A′B′与BC所成的角，∴∠A′B′C′＝90°，又BC∥AD，∴∠D′AD是异面直线AD′与BC所成的角，∴∠D′AD＝45°.]空间两条直线位置关系的判定【例1】 (1)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为( )A.1 B．2 C．3 D．4C [还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.]-9-
(2)以下选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是( )A B C D C [本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C.]1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍：(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.2．判定两条直线是异面直线的方法：(1)证明两条直线既不平行又不相交．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线(如图).1．(1)一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )A．平行或异面 B．相交或异面C．异面D．相交(2)在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF-9-
的位置关系为( )A．平行B．异面C．相交D．以上均有可能(1)B (2)B [(1)假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)；因此c与b可能相交或异面．(2)根据题意画出图形如图，BE与点C在平面ABC内，且BE不过点C，又点F∉平面ABC，故BE与CF既不平行也不相交，只能异面．]公理4及等角定理的应用【例2】 如图所示，在正方体ABCDA′B′C′D′中，E、F、E′、F′分别是AB、BC、A′B′、B′C′的中点．求证：EE′∥FF′.[证明] 因为E、E′分别是AB、A′B′的中点，所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.所以四边形EBB′E′是平行四边形．所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.所以EE′∥FF′.1．证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法三角形中位线、平行四边形的性质等．(2)定义法用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点．-9-
(3)公理4用公理4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由公理4即可得到a∥c.2．证明两个角相等或互补的方法(1)利用等角定理．(2)利用三角形全等或相似．2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.[证明] 因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1，因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1.又BB1綊DD1，所以BF綊D1G.所以四边形D1GBF为平行四边形．所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.异面直线所成的角[探究问题]1.已知直线a，b是两条异面直线，如图，如何作出这两条异面直线所成的角？[提示] 如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角(或直角)θ，即两条异面直线a，b所成的角．2．异面直线a与b所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？[提示] 异面直线a与b所成角的大小只与a，b的相互位置有关，与点O-9-
的位置选择无关，一般情况下为了简便，点O常选取在两条异面直线中的一条上．【例3】 如图，三棱锥ABCD中，AC⊥BD，E在棱AB上，F在棱CD上，并使AE∶EB＝CF∶FD＝m(m＞0)，设α为异面直线EF和AC所成的角，β为异面直线EF和BD所成的角，试求α＋β的值.[解] 过点F作MF∥BD，交BC于点M，连接ME，则CM∶MB＝CF∶FD＝m，又因为AE∶EB＝CF∶FD＝m，所以CM∶MB＝AE∶EB，所以EM∥AC，所以α＝∠MEF，β＝∠MFE，所以AC与BD所成的角为∠EMF.因为AC⊥BD，∴∠EMF＝90°，所以α＋β＝90°.将本例变为：如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝，求异面直线AD和BC所成的角．[解] 如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.因为E，F分别是AB，CD的中点，-9-
故EG∥BC且EG＝BC＝1，FG∥AD，且FG＝AD＝1，即∠EGF为所求角，又EF＝，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．(2)计算角：求角度，常利用三角形．(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )A．共面 B．平行C．异面D．平行或异面D [若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为( )A．130°B．50°C．130°或50°D．不能确定-9-
C [根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.]3．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 [(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．]4．如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．[解] 取AC的中点G，连接EG，FG，则FG∥CD，EG∥AB，所以∠FEG即为EF与AB所成的角，且FG＝CD，EG＝AB，又AB＝CD，所以FG＝EG.又由AB⊥CD得FG⊥EG，所以∠FEG＝45°.故EF和AB所成的角为45°.-9-
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