空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系

2．1.3空间中直线与平面之间的位置关系 2．1.4 平面与平面之间的位置关系 一、阅读教材P48～50，填空：1．如果一条直线和一个平面，那么我们就说这条直线和这个平面平行．没有公共点 2．直线与平面的位置关系位置关系公共点个数图形符号表示直线在平面内无数个α⊂α直线与平面相交一个a∩α＝A直线与平面平行无公共点a∥α 3.直线a在平面α外，是指直线a和平面α或．4．两平面平行的定义：；相交平行如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行 5．两平面的位置关系位置关系图示公共点情况符号表示相交无数个公共点在同一条直线上，即交线α∩β＝a平行无公共点α∥β 二、回答下列问题1．过平面α外一点P可作________条直线与平面α平行；[答案]无数条 2．判断下列命题是否正确．(1)如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；(2)过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；(3)如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线都不相交． [解析](1)错，当直线与平面相交时，直线不在平面内．(2)正确．(3)正确，当直线与平面平行时，直线与平面无公共点，故与平面内的任何直线都无公共点． 本节学习重点：直线、平面与平面的位置关系．本节学习难点：两条直线与同一平面的位置关系和相交平面的画法． 证明直线在平面内并不用“有无数公共点”，而应用公理1，只要有两个公共点即可．若直线l∥平面α，则在平面α内存在无数条直线与l平行；若a是α内任意一条直线，则l与a一定无公共点，故l与a平行或异面，即不一定有l∥a；若直线a∥平面α，直线b∥平面α时，a与b可能平行，也可能相交或异面．若直线a∥平面α，b∥a时，可能有b∥α，也可能有b⊂α. [例1]下列命题(1)直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；(2)若直线a在平面α外，则a∥α；(3)若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；(4)若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数为()A．1B．2C．3D．4 [解析]对于(1)，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α.∴(1)是假命题．对于(2)，∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行．∴(2)是假命题．对于(3)．∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α.∴(3)是假命题．对于(4)，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，∴a可以与平面α内的无数条直线平行．∴(4)是真命题．综上，真命题的个数为1个．∴应选A. 下列命题中，a、b、l表示直线，α表示平面．①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a⊂α，b⊄α，且a，b不相交，则a∥b；④若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊄α，且l和a，b均不相交，则l∥α.其中正确的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个 [答案]A[解析]两直线a，b都平行于平面α时，这两条直线可能相交，也可能平行或异面，故①错；如图(1)满足a∥b，b∥α，但a在平面α内，故②错；如图(2)满足a⊂α，b⊄α，a与b不相交，但a与b不平行，故③错；如图(3)满足a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊄α，且l与a、b均不相交，但l与α相交，故④错，因此选A. [例2]如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不对[解析]如下图中的甲、乙分别为两个平面平行、相交的情形．∴应选C. 已知平面α∥平面β，直线a⊂α，则直线a与平面β的位置关系为________．[答案]a∥β[解析]∵α∥β，∴α与β无公共点，∵a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β. [例3]画出两种不同位置的两个相交平面．[解析]常见的有以下几种不同位置(只要画出两个就行) [例4]平面α外一条直线a平行于平面α内一条直线b，求证a∥α.[分析]可由线面平行的定义，直接证明直线a与平面α无公共点；或用反证法否定直线a与平面α相交，即如果a与α相交，就会导出与直线的平行公理矛盾，或与平面的基本性质矛盾，或与已知条件a∥b矛盾，或与空间点共面或平面重合矛盾等等． [解析]证法1：∵a∥b，且b⊂α，∴由a，b确定的平面β与平面α交于直线b.∴平面β内除b上的点外都不在平面α内．∵a，b无公共点，∴a上所有的点都不在平面α内．∴a∥α. 证法2：∵a⊄α，∴a∥α或a∩α＝A.若a∩α＝A，∵a∥b，∴A点不在直线b上．在α内过A点作直线c∥b，∵a∥b，∴a∥c.这与a，c相交于A点相矛盾．∴a与α相交不可能．∴a∥α. 证法3：假设直线a与平面α相交于A点．∵a∥b，∴A∉b.∵a，b确定的平面β与由b及点A确定的平面α都经过直线b与点A，∴α与β重合．∴a⊂α.与题设a⊄α矛盾．∴a∥α. 证法4：假设直线a与平面α相交于点A.在a上另外取一点B，则点B在α外．在直线b上任取两点C、D，连BC、AD.∵a∥b，∴A、B、C、D四点共面，∵经过不共线三点A、C、D有且仅有一个平面α，∴四点A、B、C、D共面于α，这与B∉α矛盾，故假设错误．∴a∥α. 求证：两条平行线中的一条与一个平面相交，则另一条也与该平面相交． [解析]已知：直线a∥b，a∩平面α＝P，如右图，求证：直线b与平面α相交．分析：a与b平行，可知a、b确定一个平面，设为β.平面α和平面β有公共点P，因此必有一条交线l.b与l有公共点，因此b与平面α也有公共点． 证明：∵a∥b，∴a和b确定一平面，设为β.∵a∩α＝P，a⊂β∴平面α和平面β相交于过P点的一条直线，设为l.∵在平面β内l与两条平行直线a、b中的一条直线a相交，∴l必与b相交，设交点为Q又∵b不在平面α内(若b在α内，则b是α与β的交线，∴b与l重合，又l∩a＝P，∴b∩a＝P与b∥a矛盾)，故直线b和平面α相交． 总结评述：证明直线和平面相交的方法有：(1)反证法：即否定直线在平面内，否定直线与平面平行．(2)证明直线与平面只有一个公共点． 1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．惟一一条直线不相交B．仅两条相交直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交[答案]D [解析]根据直线和平面平行定义，易知排除A、B.对于C，无数条直线可能是一组平行线，∴C表达不确切，应排除C.与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平面α平行，∴D正确． 2．下列四个命题中假命题的个数是()①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行②两条直线没有公共点，则这两条直线平行③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．A．4B．3C．2D．1[答案]A [解析]①两条直线平行、相交或异面②平行或异面③平行、相交或异面④无数条≠任意一条，当直线在平面内时，平面内有无数条直线与这条直线无公共点．∴①②③④均为假命题． 3．若三个平面两两相交，则它们交线的条数是()A．1B．2C．3D．1或3[答案]D