教育部课题2.1.2_空间两条直线之间的位置关系

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 教育部重点课题新教育子课题《在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践》温州市瓯海区三溪中学张明 一、⑴在平面中直线与直线之间的位置关系有几种事实？注意是事实。事实是什么意思？即它是客观存在的，这种事实是不以人的主观努力而改变的，不以人的意志而转移的，不管人有没有在，它总是存在着,就算人类灭亡了，它也依旧存在。我们人类只不过是发现它们，不是发明它们。⑵、在空间中直线与直线的位置关系有几种事实？注意是事实。这种事实是不以人的主观努力而改变的，不以人的意志而转移的，不管人有没有在，它总是存在着,就算人类灭亡了，它也依旧存在。我们人类只不过是发现它们，不是发明它们。 ABCD复习：平面内两条直线的位置关系相交直线平行直线相交直线（有一个公共点）平行直线（无公共点）两路相交立交桥立交桥中,两条路线AB,CDaboab既不平行，又不相交观察实例 看一下生活中的例子：立交桥中,两条路线AB,CDABCD 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。没有只有一个没有共面不共面共面平行相交异面位置关系公共点个数是否共面1.异面直线的定义。（就像刚出生的婴儿要取个名字，以及给名字内含，且名字要取得形象和直观。异面直线是我们刚发现的新事物,注意：数学上的名字不会无缘无故取的，每个名字都有内含和历史。）如何定义？不在一个平面内的两条直线称异面直线可以吗？答：不可以。不在一个平面内那就在另一个平面内。所以是不在任何一个平面内。 2.异面直线的画法说明:画异面直线时,为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.如图：aabaAbb(1)(3)(2) a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abM答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？abab思考 按是否在同一平面内分同在一个平面内相交直线平行直线不同在任何一个平面内:异面直线有一个公共点:按公共点个数分相交直线无公共点平行直线异面直线空间直线与直线之间的位置关系 3.异面直线的判定方法：(1)定义法：由定义判定两直线不可能在同一平面内.(借助反证法)例：设a、b是异面直线，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，求证直线AC、BD也为异面直线。 (1)在如图所示的正方体中，指出哪些棱所在的直线与直线BA1是异面直线？ABCDA1B1D1C1 ⑵已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线相交吗？ABCDA1B1D1C1MN 探究：图2.1-15是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有＿＿对。总结：1、在平面中直线和直线的位置关系只有两个儿子，在空间中有且只有三个儿子，没有第四个儿子。我只有一个儿子.2、正面：不在任何一个平面内即不共面。反面：在一个平面内即共面。 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行.注：1.直线a，b，c两两平行，可记为a//b//c.2.公理4所表述的性质，叫做空间平行线的传递性.3.证明空间两直线平行的方法：(1)定义法：一要证两直线在同一平面内；二要证两直线没有公共点(反证法)(2)公理法平行公理 例2如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.AHEFCBGD∵EH是△ABD的中位线∴EH∥BD且EH=BD同理，FG∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一个平行四边形证明：连结BD变式：如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？立体问题平面化是解立体几何时最主要、最常用的一种方法。 3.等角定理定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。1、在平面中有等角定理吗？2、构造两个全等的三角形来证明，利用公理4，但比较难。 ABCA1B1C1等角定理1:如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.DD1EE1推论:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.等角定理 1、问平面图形的结论都可以推广到空间中来吗？答：一般要经过证明，在平面中结论是正确的，在空间中不一定。比如在平面中同事垂直于一条直线的两条直线平行在空间中是不成立的。 如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作a,b的平行线a′和b′,abPa′b′O则这两条线所成的锐角θ（或直角），θ称为异面直线a，b所成的角.？任选Oa′若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直.异面直线a与b垂直也记作a⊥b.平移4.两条异面直线所成的角 如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作a⊥b。 注1:异面直线a、b所成角，只与a、b的相互位置有关，而与点O位置无关.一般常把点O取在直线a或b上.αabOa’注2:异面直线所成角的取值范围：注3:求异面直线所所成角的步骤：一作、二证、三求解两条异面直线所成的角研究思路就是把空间问题转化为平面问题，可以转化的原因是等角定理。 探究（1）观察长方体ABCD-A′B′C′D′，有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线？（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.异面直线的定义:相交直线平行直线异面直线空间两直线的位置关系小结：公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．异面直线的求法:一作(找)、二证、三求解空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补．等角定理：异面直线的画法辅助平面衬托法异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角