高中数学第2章点、直线、平面之间的位置关系212空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系疱丁巧解牛知识•巧学一、空间中直线的位置关系空间中直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线、异而直线.平行直线与相交直线都是共面直线，而异面直线是不同在任何一个平面内的直线.要注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平血，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面,使其同时经过a、b两条直线.要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线，如图2-1-9所示，分别在两个平面内的直线可以平行，可以相交，也可以异面.空间两直线的位置关系也可以按有无公共点来分类，两直线如果有且只有一个公共点,则为相交直线，但应注意如果两直线没有公共点，它包括两直线平行和两直线异面两种情形.空间两直线的图形表示如图2-1-10.符号表示为两直线平行：a〃b；两直线相交：aOb-A.空间两直线的位置关系，可以按公共点的情况来划分，但应注意无公共点吋的情况.二、定理与公理公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示：若a〃b,b〃c,则a〃c.举例：如图2-1-11,空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD的中点.由EF〃BD,GH〃BD及公理4,得EF〃GH.C图2-1-11深化升华公理4是本章中非常重要的定理，它是证明线线平行的常用方法，在证明线线乖直、找两异而直线所成的角等方面经常用到.它与前三个公理构成了立体儿何的公理体系，是研究儿何的基础.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 如图2-1-12,AB^AiBi,BC〃BQ,对于ZABC与ZAbG,因为两个角的方向相同,所以两角相等；对于ZABC与ZEBG,因为两个角的方向不同，所以互补，即ZABC+ZEiBiCi=180°.方法点拨应用此定理时一定要注意定理的条件，特別是注意角的方向问题.三、异面直线1.异而直线的判定定理:经过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线.如图2-1-13所示，直线1经过平面外一点A和平面内一点B,它与a内不经过B点的直线a是异面直线.图2-1-132.异而直线所成的角：已知两条异而直线a、b,经过空间任意一点，作直线/〃缶『〃b,则『、b‘所成的锐角或直角叫做两条异面直线a、b所成的角（或夹角）.方法点拨作出两异面直线所成角的方法：作异面直线a、b的平行线*、b，,则/、b，这两条相交直线所成的角即是两界面直线所成的角.这也体现了将空间问题转化为平面问题的基本思路.两异面直线所成的角必须是锐角或直角，其范围是0°