空间点、直线、平面之间的位置关系资料

第八章 立体几何初步第1课时 空间点、直线、平面之间的位置关系考情分析考点新知理解空间点、线、面的位置关系；会用数学语言规范的表述空间点、线、面的位置关系．了解公理1、2、3及公理3的推论1、2、3，并能正确判定；了解平行公理和等角定理．  理解空间直线、平面位置关系的定义，能判定空间两直线的位置关系；了解异面直线所成角.1.(原创)已知点P、Q，平面α，将命题“P∈α，QαPQα”改成文字叙述是________．答案：若点P在平面α内，点Q不在平面α内，则直线PQ不在平面α内．解析：正确理解符号语言表达空间点、线、面之间的位置关系，能正确进行自然语言、图形语言和符号语言的相互转化．2.(原创)有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是________．(填序号)答案：②③解析：①只须四点共面，任何三点不必共线；②③正确；④错误．3.(必修2P28习题1改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1平行的对角线有________条.答案：1解析：与AD1平行的对角线仅有1条，即BC1.4.(必修2P31练习12改编)如图所示，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形．答案：AC＝BD AC＝BD且AC⊥BD解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.5.(必修2P24练习3改编)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．(填序号) ①P∈a，P∈αaα；②a∩b＝P，bβaβ；③a∥b，aα，P∈b，P∈αbα；④α∩β＝b，P∈α，P∈βP∈b.答案：③④解析：当a∩α＝P时，P∈α，P∈α，但aα，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴Pa，∴由直线a与点P确定唯一平面α.又a∥b，由a与b确定唯一平面γ，但γ经过直线a与点P，∴γ与α重合，∴bα，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．1.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他的公共点，这些公共点的集合是一条直线．公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2.空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内1平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有3.平行直线的公理及定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．(2)定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．[备课札记] 题型1 平面的基本性质例1 画一个正方体ABCDA1B1C1D1，再画出平面ACD1与平面BDC1的交线，并且说明理由．解：F∈CD1、F∈平面ACD1、E∈AC、E∈平面ACD1、E∈BD、E∈平面BDC1、F∈DC1、F∈平面DC1B，则EF为所求．在长方体ABCDA1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1)上．(1)过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？并说明理由；(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈，这样的直线有几条，应该如何作图？解：(1)连结B1D1，BD，在平面A1C1内过P作直线l，使l∥B1D1，则l即为所求作的直线，如图(a)．∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l∥直线BD.图(a)(2)∵BD∥B1D1，∴直线m与直线BD也成α角，即直线m为所求作的直线，如图(b)．由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角α∈.当α＝时，这样的直线m有且只有一条，当α≠时，这样的直线m有两条．图(b)题型2 共点、共线、共面问题,例2) 如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥=AD，BE∥=FA，G、H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形． (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH∥=AD.又BC∥=AD，∴GH∥=BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解：(解法1)由BE∥=AF，G为FA中点知，BE∥=FG，∴四边形BEFG为平行四边形．∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．(解法2)如图，延长FE、DC分别与AB交于点M、M′，∵BE∥=AF，∴B为MA中点．∵BC∥=AD，∴B为M′A中点．∴M与M′重合，即FE与DC交于点M(M′)．∴C、D、F、E四点共面．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面．证明：(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理2知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)连结EF，A、B、C、D，∵E、F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E、C、D1、F四点共面．题型3 空间直线位置关系问题例3 已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点． (1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解：取CD的中点G，连结EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.已知四棱锥PABCD的顶点P在底面的射影恰好是底面菱形ABCD的两条对角线的交点，若AB＝3，PB＝4，则PA长度的取值范围为________．答案：(，5)解析：由题意知PO⊥平面ABCD，AB＝3，PB＝4，设PO＝h，OB＝x，则PA2＝h2＋9－x2＝16－x2－x2＋9＝25－2x2，因为0