8.3　空间点、直线、平面之间的位置关系

§8.3空间点、直线、平面之间的位置关系 基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引 基础知识 自主学习 公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相.1.四个公理知识梳理两点不在一条直线上有且只有一条平行 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).②范围：.(1)位置关系的分类2.直线与直线的位置关系共面直线直线直线异面直线：不同在一个平面内，没有公共点相交平行任何(2)异面直线所成的角锐角(或直角) 3.直线与平面的位置关系有、、三种情况.4.平面与平面的位置关系有、两种情况.5.等角定理空间中如果两个角的，那么这两个角相等或互补.两边分别对应平行平行相交直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行 1.唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.2.异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.知识拓展 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.()(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.()(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.()(5)没有公共点的两条直线是异面直线.()思考辨析√×√×× 1.下列命题正确的个数为①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.A.0B.1C.2D.3考点自测答案解析②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确. 2.(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n答案解析由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确. 3.(2017·合肥质检)已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC.若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD.若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α答案解析m，n可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；根据线面平行的性质可知C正确；若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C. 4.(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝2，AD＝2，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________.答案解析45°60° ∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝＝＝1，∴∠EGF＝45°，∴∠GBF＝60°. 5.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.答案解析4EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的侧面有4个. 题型分类 深度剖析 题型一 平面基本性质的应用例1(1)(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A. (2)已知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：①E、F、G、H四点共面；证明连接EF、GH，如图所示，∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD.又∵CG＝BC，CH＝DC，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E、F、G、H四点共面.几何画板展示 ②三直线FH、EG、AC共点.证明易知FH与直线AC不平行，但共面，∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG，∴FH、EG、AC共点. 思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点. 跟踪训练1如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G、H分别为FA、FD的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，∴四边形BCHG为平行四边形. (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？解答∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.∴EF∥CH，∴EF与CH共面.又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面. 题型二 判断空间两直线的位置关系例2(1)(2015·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交答案解析若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交. (2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是答案解析A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行几何画板展示 连接B1C，B1D1，如图所示，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，又BD∥B1D1，∴MN∥BD.∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D. (3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)答案解析②④ 图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面.所以图②④中GH与MN异面. 思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决. 跟踪训练2(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为答案解析A.0B.1C.2D.3在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面所以①②错，③显然成立. (2)(2016·南昌一模)已知a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，则下列命题中正确的是A.a与b异面，b与c异面⇒a与c异面B.a与b相交，b与c相交⇒a与c相交C.α∥β，β∥γ⇒α∥γD.a⊂α，b⊂β，α与β相交⇒a与b相交答案解析 如图(1)，在正方体中，a、b、c是三条棱所在直线，满足a与b异面，b与c异面，但a∩c＝A，故A错误；在图(2)的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错误；如图(3)，α∩β＝c，a∥c，则a与b不相交，故D错误. 题型三 求两条异面直线所成的角例3(2016·重庆模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为______.答案解析如图，将原图补成正方体ABCD－QGHP，连接GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝. 引申探究在本例条件下，若E，F，M分别是AB，BC，PQ的中点，异面直线EM与AF所成的角为θ，求cosθ的值解答 设N为BF的中点，连接EN，MN，则∠MEN是异面直线EM与AF所成的角或其补角.不妨设正方形ABCD和ADPQ的边长为4，在△MEN中，由余弦定理得 思维升华用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角. 跟踪训练3已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为答案解析 画出正四面体ABCD的直观图，如图所示.设其棱长为2，取AD的中点F，连接EF，设EF的中点为O，连接CO，则EF∥BD，则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角.△ABC为等边三角形，则CE⊥AB， 故CE＝CF.因为OE＝OF，所以CO⊥EF. 典例已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确的命题是________.构造模型判断空间线面位置关系思想与方法系列16答案解析思想方法指导①④ 本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误.对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.返回 借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α、β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确.返回 课时作业 1.设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则“α∥β”是“a⊥b”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√12345678910111213答案解析若a⊂α，b⊥β，α∥β，则由α∥β，b⊥β⇒b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；若a⊥b，a⊂α，b⊥β，则b⊥α或b∥α或b⊂α，此时α∥β或α与β相交，所以“α∥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A. 123456789101112132.(2016·福州质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有无数条√答案解析 12345678910111213在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1、EF、BC分别有交点P、M、N，如图，故有无数条直线与直线A1B1、EF、BC都相交. 123456789101112133.对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与lA.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线√答案解析不论l∥α，l⊂α，还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l. 123456789101112134.在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在AC上，也可能在BD上D.M既不在AC上，也不在BD上√答案解析由于EF∩HG＝M，且EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，所以点M为平面ABC与平面ACD的一个公共点，而这两个平面的交线为AC，所以点M一定在直线AC上，故选A. 123456789101112135.四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为√答案解析 因为四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为∠PAB.利用余弦定理可知12345678910111213 123456789101112136.下列命题中，正确的是A.若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线B.若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面C.若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D.若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条√答案解析 对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误.对于B，设a，b确定的平面为α，显然a⊂α，故B错误.对于C，当a⊂α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误.易知D正确.故选D.12345678910111213 123456789101112137.(2016·南昌高三期末)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形.∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值为________.答案解析 连接A1B，将△A1BC1与△CBC1同时展平形成一个平面四边形A1BCC1，则此时对角线CP＋PA1＝A1C达到最小，在等腰直角三角形△BCC1中，BC1＝2，∠CC1B＝45°，在△A1BC1中，A1B＝＝2，A1C1＝6，BC1＝2，∴A1C＋BC＝A1B2，即∠A1C1B＝90°.对于展开形成的四边形A1BCC1，在△A1C1C中，C1C＝，A1C1＝6，∠A1C1C＝135°，由余弦定理有，CP＋PA1＝A1C＝＝＝5.12345678910111213 123456789101112138.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是________.答案解析②③④ 把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.12345678910111213 123456789101112139.(2015·浙江)如图，三棱锥A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是_____.答案解析 如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.∵M为AD的中点，∴MK∥AN，∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角.∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，12345678910111213 在△CKM中，由余弦定理，得12345678910111213 12345678910111213*10.(2017·郑州质检)如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是________.答案解析①BM是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE.③ 12345678910111213取DC中点F，连接MF，BF，MF∥A1D且MF＝A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得①②正确；由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；A1C在平面ABCD中的投影与AC重合，AC与DE不垂直，可得③不正确. 1234567891011121311.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点.求证：D1、H、O三点共线.证明 如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，B1D⊂平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.即D1、H、O三点共线.12345678910111213 1234567891011121312.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.解答 如图所示，取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，∴EF∥CD.∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角.在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝，12345678910111213 12345678910111213 12345678910111213*13.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D、B、F、E四点共面；证明 12345678910111213如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面.即D、B、F、E四点共面. 12345678910111213(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线.证明 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点.所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，则R∈α且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.12345678910111213 本课结束更多精彩内容请登录：www.91taoke.com