高中数学人教a版必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 习题

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、选择题1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是(  )A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交解析：选B 假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)．因此c与b可能相交或异面．2.如图所示，在三棱锥S—MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是(  )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：选A ∵E、F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.3．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为(  )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直解析：选D 将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.4．下列命题中①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行． 正确的结论有(  )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B 对于①，这两个角也可能互补，故①错；对于②，正确；对于③，不正确，举反例：如右图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角既不一定相等，也不一定互补；对于④，由公理4可知正确．故②④正确，所以正确的结论有2个．5．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则(  )A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面解析：选B 逐个分析，过点P与l，m都平行的直线不存在；过点P与l，m都垂直的直线只有一条；过点P与l，m都相交的直线1条或0条；过点P与l，m都异面的直线有无数条．二、填空题6．空间中有一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________.解析：∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.答案：70°或110°7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为________．解析：设棱长为1，因为A1B1∥C1D，所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角．在△AED1中，AE＝＝，cos∠AED1＝＝＝.答案：8．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________． 解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．答案：③三、解答题9.如图所示，E、F分别是长方体A1B1C1D1—ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．证明：设Q是DD1的中点，连接EQ、QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1(平行公理)．∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.又∵Q、F是DD1、C1C两边的中点，∴QD綊C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊DF.又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．10．已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．解：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，因为点M，N分别是BC，AD的中点， 所以PM∥AB，且PM＝AB；PN∥CD，且PN＝CD，所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角．所以∠PMN(或其补角)为AB与MN所成的角．因为直线AB与CD成60°角，所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.又因为AB＝CD，所以PM＝PN①，(1)若∠MPN＝60°，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°.(2)若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.综上可知：AB与MN所成角为60°或30°.