高中数学 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系导学案 新人教版必修2

高中数学高一年级必修二第二章第2.1.2节：空间中直线与直线之间的位置关系导学案Ａ．学习目标1、知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。2、过程与方法（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。3、情感与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。Ｂ．学习重点、难点重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理。难点：异面直线所成角的计算。Ｃ．学法指导学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。D．知识链接空间中直线与直线的位置关系的讨论。E．自主学习通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。F.合作探究1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：共面直线相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？ 组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？生：平行再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线=>a∥ca∥bc∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。（2）例2（投影片）例2的讲解让学生掌握了公理4的运用（3）教材P51探究让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。3、组织学生思考教材P51的思考题（投影）让学生观察、思考：∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ADC=A'D'C'，∠ADC+∠A'B'C'=1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。（1）师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。（2）强调：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0，)； ③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。（3）例3（投影）例3的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角，从而巩固了所学知识。（三）课堂练习教材P53练习1、2充分调动学生动手的积极性，教师适时给予肯定。G.课堂小结在师生互动中让学生了解：（1）本节课学习了哪些知识内容？（2）计算异面直线所成的角应注意什么？H．达标检测1．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于(  )A．30°         B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对2．已知a，b是异面直线，直线c∥a，那么c与b(  )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是相交直线D．不可能是平行直线3.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角是(  )A．0°B．45°C．60°D．90°4.如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是(  )A．平行B．相交且垂直C．异面D．相交成60°5．满足“a、b是异面直线”的命题序号是________．①a∩b＝∅且a不平行于b ②a⊂平面α，b⊂平面β且a∩b＝∅ ③a⊂平面α，b⊄平面α ④不存在平面α，使a⊂α且b⊂α成立6．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________． 7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求CC1与BD1所成角的正弦值．8.如图所示，E、F分别是长方体A1B1C1D1—ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．参考答案：1解析：∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同．∴∠PQR＝30°或150°.答案：B2.答案：D3.解析：取CD中点M1，连接C1M1，则CN⊥C1M1，故B1M与CN所成的角为90°.答案：D4答案：D5答案：①④6.解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．答案：③7.解：如图所示，连接B1D1，∵B1B∥CC1，则BB1与BD1所成的角∠B1BD1就是CC1和BD1所成的角．在Rt△BB1D1中，sin∠B1BD1＝＝＝，∴CC1与BD1所成角的正弦值为.8.证明：设Q是DD1的中点，连接EQ、QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ是矩形AA1D1D的中位线．∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1(平行公理)．∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.又∵Q、F是DD1、C1C两边的中点，∴QD綊C1F.∴C1Q綊DF.又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．