实用标准文案空间点、直线、平面之间的位置关系 一、知识要点: 1.平面的基本性质: 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 公理2:过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 2.空间中直线与直线之间的位置关系: 空间两条直线的位置关系有且只有三种: 如图:AB与BC相交于B点,AB与A′B′平行,AB与B′C′异面。精彩文档
实用标准文案 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 3.空间中直线与平面之间的位置关系: (1)直线在平面内……有无数个公共点; (2)直线与平面相交……有且只有一个公共点; (3)直线与平面平行……没有公共点。 其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。 注意,我们不提倡如下画法. 4.平面与平面之间的位置关系: (1)两个平面平行……没有公共点; (2)两个平面相交……有一条公共直线。精彩文档
实用标准文案 二、例题讲解: 例1、根据图形,写出图形中点、直线和平面之间的关系. 图1可以用几何符号表示为:___________________________________________. 图2可以用几何符号表示为:___________________________________________. 分析:本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面,然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系,最后用文字语言和符号语言写出. 解:图1可以用几何符号表示为: 即:平面与平面相交于直线AB,直线a在平面内,直线b在平面内,直线a平行于直线AB,直线b平行于直线AB. 图2可以用几何符号表示为:,△ABC的三个顶点满足条件 即:平面与平面相交于直线MN,△ABC的顶点A在直线MN上,点B在内但不在直线MN上,点C在平面内但不在直线MN上. 例2、观察下面的三个图形,说出它们有何异同.精彩文档
实用标准文案 分析:图1既可能是平面图形,也可能是一个空间图形的直观图;图2、图3均用了一条直线衬托,它们都是空间图形的直观图. 解:图1可能是平面图形,也可能是空间图形的直观图;图2是MN凸在外面的一个空间图形的直观图;图3是MN凹在里面的一个空间图形的直观图. 点评:(1)本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的画法.而这些画法的掌握程度将影响对空间结构的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习. (2)与本题类似的其它变形还有: 用虚线画出图4正方体和图5三棱锥中被遮挡的棱,完成图形. 例3、正方体ABCD-A1B1C1D1中, (1)DD1和A1B1的位置关系如何? D1B和AC的位置关系如何? A1C和D1B的位置关系如何? (2)和AD成异面直线的棱所在直线有几条? (3)和BD1成异面直线的棱所在直线有几条? (4)六个面的正方形对角线共12条,这些对角线所在直线中,异面直线共有多少对?精彩文档
实用标准文案 解析:我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种,判断的依据是看两条直线是共面还是异面及是否有公共点。 (1)异面直线;异面直线;相交直线; (2)4条.分别是A1B1、B1B、C1D1、C1C; (3)6条.分别是AA1、CC1、A1B1、B1C1、AD、CD; (4)30对。 例4、已知:如图,立体图形A—BCD的四个面分别是△ABC、△ACD、△ABD和△BCD ,E、F、G分别为线段AB、AC、AD上的点,EF∥BC,FG∥CD. 求证:△EFG∽△BCD. 证明:∵在平面ABC中,EF∥BC,∴=. 又在平面ACD中,FG∥CD,∴=. ∴=. ∴EG∥BD. ∴∠EFG=∠BCD. 同理∠FGE=∠CDB, ∴△EFG∽△BCD精彩文档
实用标准文案. 与本例类似变形还有: 已知:将一张长方形的纸片ABCD对折一次,EF为折痕再打开竖直在桌面上,如图所示,连结AD、BC. 求证:ADBC,∠ADE=∠BCF.(证明略) 三、练习: 1.下列图形中,满足的图形是( ). (A) (B) (C) (D) 2.已知A、B表示点,b表示直线,、表示平面,下列命题和表示方法都正确的是( ). (A) (B) (C) (D) 3.用符号表示“若A、B是平面内的两点,C是直线AB上的点,则C必在精彩文档
实用标准文案内”,即是________________. 4.“a,b为异面直线”是指: (1)且a不平行于b; (2)且; (3)且; (4); (5)不存在平面,使且成立. 上述结论中,正确的是( ). (A)(1)(4)(5) (B)(1)(3)(4) (C)(2)(4) (D)(1)(5) 5.一条直线和两条异面直线的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ). (A)平行或异面 (B)异面 (C)相交 (D)相交或异面 6.如图,空间四边形ABCD中,M、N分别是△ABC和△ACD的重心,若BD=m,则MN=__________. 7.如图,是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么AF、BC、DE这三条线段所在直线是异面直线的是__________,它们所成的角为________度。精彩文档
实用标准文案 四、练习答案: 1.提示:根据平面的无限延展性及平面画法来判断. 答案:(C). 2.提示:根据点与平面应用“”“”连接排除A;根据公理两个平面相交为一条直线,排除B;再跟据图形可排除D,因为A有可能在平面上. 答案:(C). 3.提示:熟悉点与线,点与平面的关系,正确使用“”、“”等符号. 答案:. 4.提示:根据异面直线定义“不同在任何一个平面内,没有公共点的两条直线叫异面直线”,结合图形可排除(2)、(3)、(4).(∵(2)中可能有a∥b,(3)中可能有a∥b,(4)可能有a与b相交或平行.)(5)是正确的,再由直线位置关系可得(1)也是正确的. 答案:(D). 5.提示:由公理可排除(A),再结合图形可利用平移方法验证. 答案:(D). 6.提示:重心是三条中线的交点,并分每条中线的比为2∶3.连结AM并延长交BC于E,连结AN并延长交CD于F,再连结MN、EF,根据三角形重心性质得BE=EC,CF=FD. ∴MNEF,EFBD. ∴MNBD ∴MN=m. 答案:m.精彩文档
实用标准文案 7.解析:展开图还原成正方体如图所示(C点与D点重合),成异面直线的是AF与BC(或BD),AF与BC所成角即为CE与BC所成角,为60度。精彩文档