2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系空间两直线的位置关系[提出问题]立交桥是伴随高速公路应运而生的．城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景．为了车流畅通，并安全地通过交叉路口，1928年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年，芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931年至1935年，瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥．从此，城市交通开始从平地走向立体．问题1：在同一平面内，两直线有怎样的位置关系？提示：平行或相交．问题2：若把立交桥抽象成一直线，它们是否在同一平面内？有何特征？提示：不共面．不相交也不平行．问题3：观察一下，教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线，是否也具有类似特征？提示：是．[导入新知]1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法2．空间两条直线的位置关系位置关系特 点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点[化解疑难]
1．对于异面直线的定义的理解异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线．例如，如图所示的长方体中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB与B1C1是异面直线．2．空间两条直线的位置关系(1)若从有无公共点的角度来看，可分为两类：直线(2)若从是否共面的角度看，也可分两类：直线平行公理及等角定理[提出问题]1．同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．问题：空间中是否有类似规律？提示：有．2．观察下图中的∠AOB与∠A′O′B′.问题1：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？提示：分别对应平行．问题2：测量一下，这两个角的大小关系如何？提示：相等．[导入新知]1．平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．(2)符号表述：⇒a∥c.2．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.[化解疑难]对平行公理与等角定理的理解公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法．等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时，它们相等，否则它们互补．两直线位置关系的判定 [例1] 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.[答案] (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面[类题通法]1．判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．2．判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．[活学活用]
如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解：(1)不是异面直线．理由：∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又A1A綊D1D，而D1D綊C1C，∴A1A綊C1C.∴四边形A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC.∴A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，∴BC⊂平面CC1D1.而BC⊥平面CC1D1，BC⊄平面CC1D1，∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.平行公理及等角定理的应用[例2] 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[解] 证明：(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴MM1綊AA1.又∵AA1綊BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM.又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1.∴∠BMC＝∠B1M1C1.[类题通法]1．证明两条直线平行的方法：(1)平行线定义；(2)三角形中位线定理、平行四边形性质等；(3)公理4.2．空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补，因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的．[活学活用] 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点．求证：BF綊ED1.证明：如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.∵F为CC1的中点，∴BG綊C1F.∴四边形BGC1F为平行四边形．∴BF綊GC1.又∵EG綊A1B1，A1B1綊C1D1，∴EG綊D1C1，∴四边形EGC1D1为平行四边形，∴ED1綊GC1，∴BF綊ED1.两异面直线所成的角[例3] 如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小．
[解] 取CD1的中点G，连接EG，DG，∵E是BD1的中点，∴EG∥BC，EG＝BC.∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，∴DF∥BC，DF＝BC，∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1，EF所成的角为90°.[类题通法]求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°.[活学活用] 已知ABCDA1B1C1D1是正方体，求异面直线A1C1与B1C所成的角的大小．解：如图所示，连接A1D和C1D.∵B1C∥A1D，∴∠DA1C1即为异面直线A1C1与B1C所成的角．∵A1D，A1C1，C1D为正方体各面上的对角线，∴A1D＝A1C1＝C1D，∴△A1C1D为等边三角形．即∠C1A1D＝60°.∴异面直线A1C1与B1C所成的角为60°.
[典例] 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．[证明] 如图，连接BD.因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH＝BD.同理，FG∥BD，且FG＝BD.因此EH∥FG.又EH＝FG，所以四边形EFGH为平行四边形．[多维探究]1．矩形的判断本例中若加上条件“AC⊥BD”，则四边形EFGH是什么形状？证明：由例题可知EH∥BD，同理EF∥AC，又BD⊥AC，因此EH⊥EF，所以四边形EFGH为矩形．2．菱形的判断本例中，若加上条件“AC＝BD”，则四边形EFGH是什么形状？证明：由例题知EH∥BD，且EH＝BD，同理EF∥AC，且EF＝AC.又AC＝BD，所以EH＝EF.又四边形EFGH为平行四边形，所以四边形EFGH为菱形．3．正方形的判断本例中，若加上条件“AC⊥BD，且AC＝BD”，则四边形EFGH是什么形状？证明：由探究1与2可知，
四边形EFGH为正方形．4．梯形的判断若本例中，E，H分别是AB，AD中点，F，G分别是BC，CD上的点，且CF∶FB＝CG∶GD＝1∶2，则四边形EFGH是什么形状？证明：由题意可知EH是△ABD的中位线，则EH∥BD且EH＝BD.又∵＝＝，∴FG∥BD，＝＝，∴FG＝BD，∴FG∥EH且FG≠EH，∴四边形EFGH是梯形．[方法感悟]根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法．公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法．[随堂即时演练]1．如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是( )A．6 B．4C．5D．8答案：B2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )A．30°B．30°或150°C．150°D．以上结论都不对答案：B3．已知正方体ABCDEFGH，则AH与FG所成角的度数是________．答案：45°4．给出下列说法：(1)若直线上有两个点在平面外，则直线上至少有一个点在平面内；(2)若直线上有两个点在平面外，则直线上有无穷多个点在平面内；
(3)若直线上有两个点在平面外，则直线上所有点都在平面外；(4)若直线上有两个点在平面外，则直线上至多有一个点在平面内；(5)若a，b是异面直线，c∥a，那么c与b一定是异面直线．其中正确的是________(填序号)．答案：(4)5．如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角的大小．答案：45°[课时达标检测]一、选择题1．若a，b，c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是( )A．异面 B．相交C．平行D．异面或相交答案：D2.如图所示，在三棱锥SMNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面答案：A3．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直答案：D4．下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B5．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( )A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面答案：B二、填空题6．直线a，b⊂平面α，且a，b成的角为40°，经过α外一点A与a，b都成30°角的直线有且只有________条．答案：27．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为________．答案：8．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．答案：③三、解答题9.如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．证明：设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1(平行公理)．∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD綊C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊DF.又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．10.已知三棱锥ABCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．解：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，因为点M，N分别是BC，AD的中点，所以PM∥AB，且PM＝AB；PN∥CD，且PN＝CD，所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角．所以∠PMN(或其补角)为AB与MN所成的角．因为直线AB与CD成60°角，所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.又因为AB＝CD，所以PM＝PN，①若∠MPN＝60°，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，即AB与MN所成的角为60°.②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形．所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.综上可知：AB与MN所成角为60°或30°.
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