高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线的位置关系教学设计 新人教A版必修

“空间中直线与直线的位置关系”教学目标［知识与技能］通过学习能知道空间直线的三种位置关系；初步理解异面直线的概念，会判断两直线的异面关系，初步理解异面直线的衬托画法，初步理解异面直线所成角的概念，运用平移的方法求异面直线所成的角；初步理解与运用公理4解决问题，初步了解等角定理．［过程与方法］通过学习经历异面直线的概念的形成过程，借助平面的衬托，体会异面直线的直观画法，通过对等角定理的温故知新的探究，解决了异面直线的定义，并能求简单的异面直线所成的角；借助长方体的模型，发现与感知平行线的传递性质．［情感、态度与价值观］经历师生的教与学的互动活动，让学生初步体会化归思想与空间想象能力的养成意义，通过学习让学生获得对空间直线的位置关系有一个清晰的认识，把问题交给学生解决，让学生自主发现问题与解决问题，养成独立思考的习惯．重点、难点与关键点重点：异面直线的概念、异面直线所成的角与简单角的求法；公理4的运用．难点：异面直线概念的理解与求法．关键点：异面直线的衬托画法，找异面直线的角．教学准备：空间四边形模型、长方体模型，直线、平面教具，教学课件．教学过程设计：思考问题：空间直线与直线的位置关系有几种？设计意图：由教科书第44页“思考”中的问题，引起学生注意，诱发学生探知的欲望，养成思考问题的习惯．师生活动：（虚拟）教师放课件图片，引导学生观察：日光灯所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系，让学生发现，直线与直线有既不平行又不相交的位置关系．我们今天上课的内容是：板书：空间中直线与直线的位置关系观察：如图2．1-13，长方体ABCD-A1B1C1D1中，线段A1B1所在直线与线段BC所 在直线的位置关系如何？（虚拟）学生：既不相交，又不平行．教师：这种关系我们定义为异面直线．板书：1．异面直线的定义：把不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线．（关键点：不同在任何一个平面内）．概念辨析：下列说法是否正确？请同学思考后回答：如图，AD1平面，BC平面，问AD1，BC是否是异面关系。教师：同学们要理解定义中关键词“不同在任何一个平面内”，虽然直线AD1，BC是不在同一底面上，但它们却在对角面A1BCD1内，因此，它们不是异面直线。（虚拟）由学生归纳空间直线的位置关系有且仅有三种：（幻灯片）：2．空间直线的位置关系：板书：板书：3．异面直线画法：（幻灯片给出图形及小标题）：（1）．一个平面衬托画法：（2）．两个平面衬托画法：动画设置：（教师与学生互动）（虚拟）把衬托平面移走，再看直线a与直线b的位置的异面关系是否直观？很显然，当把衬托平面移走后，异面直线很不明显，所以异面直线的平面衬托是很重要的，注意下列关键点：强调关键点：1）．（一个平面衬托法）直线b与平面α交点在直线a外； 2）．（两个平面衬托法）直线a，b与棱都相交，且交点不重合．师生活动：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥BB1，CC1∥BB1，那么AA1与CC1平行吗？（虚拟互动）：由幻灯片闪烁AA1∥BB1，CC1∥BB1，再闪烁AA1∥CC1，由学生观察得到结论．板书（幻灯片）：4．公理4平行于同一直线的两直线互相平行．即若AA1∥BB1，CC1∥BB1，则AA1∥CC1．教师与学生共同探出：公理是判断空间直线平行的依据；平行线的性质是具有传递性．学以致用（1）：例2如图2．1-17，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．师生互动：（虚拟）教师先给学生观察空间四边形的教具，分析与回顾平行四边形定义，三角形中位线的性质，平行线与等式的传递性，要证明四边形是平行四边形，需要什么条件？请学生口述，教师写板书．（板书）：证明：连结BD，∵EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD，且EH=，同理，FG∥BD，且FG=，∴EH∥FG，且EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．更上一层楼，变式探究：在例2中，若加条件AC=BD，那么四边形EFGH又是什么图形？温故而知新：“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”．空间中，结论是否成立？教师提供图形，由学生在课后完成．5．等角定理 完善体系：探究刻画异面直线的位置关系，引入异面直线所成的角的概念．6．异面直线所成角的定义引入：由幻灯片闪烁异面直线AA1和BC，B1D1和BC它们都是异面关系，但又有明显的区别，可以引入异面直线所成的角来刻画这种区别。（幻灯片）：如图，已知两异面直线a，b，空间任取一点O，经过点O作直线∥，∥，把与所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角（或称夹角）．特殊情形，若两异面直线成直角，则称两异面直线互相垂直，记作a⊥b．教师与学生共同探讨，得到结论：异面直线所成的角可以通过平移变换，把异面直线成角化归成相交直线成角．学以致用（2）：（由幻灯给出）例3如图，已知正方体中．（1）哪些棱所在的直线与直线是异面直线？（2）求棱和所成角；（3）求和所成的角。（虚拟互动）先由学生独立思考，再让学生举手发言，教师作补充、订正和结论（按三维方向或三对面分类进行分析）．课堂练习：在例3中，直线和AC所成的角是多少？课后思考： 1．若，，则直线和是异面直线；（）2．如图，则直线和是异面直线；（）3．若，，则∥．（）教科书第48页练习课堂小结1.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线2.空间两直线的位置关系3.异面直线的画法：平面衬托4.公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行5．等角定理：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么它们相等或互补6．异面角的求法：一作（找）二说三求。课后练习：1．举出你生活环境中异面直线的实例两例；2．完成教科书第48页上练习；3．第47页探究问题：如图2．1-18，观察长方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线？（2）如果两条平行直线中的一条与另一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？（3）垂直于同一直线的两条直线是否垂直？设计意图：1．让学生养成借助长方体模型的判断问题的习惯；2．克服平面内两直线定势思维的影响．课后研究： （用泡沫纸做成教具）图2．1-15是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有对．（互动）：由一名学生上台把（教具）展开图还原成正方体，二名学生上台画还原图；教师与学生共同归纳规律：1．选取一个正对面，然后确定左右两侧面，上下底面，最后定对面；2．这些线段都是面对角线．板书设计．空间中直线与直线的位置关系1．2．公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行3．异面直线的画法4．例2证明：连结BD，∵EH是△ABD的中位线，∴EH∥BD，且EH=，同理，FG∥BD，且FG=，∴EH∥FG，且EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形． “空间中直线与直线的位置关系”教学设计说明（1）本课数学内容的本质、地位、作用分析本课数学内容是空间直线与直线的位置关系的分类，异面直线的定义、画法、成角定义，平行公理和等角定理。本课地位是体现公理化思想的基础，作用在空间线面平行（垂直）、面面平行（垂直）的转化的基础。设计以长方体为载体，让学生直观认识空间直线的位置关系和异面直线成角的定义，用空间四边形的模型来应用平行公理。（2）教学目标分析了解空间两直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理和等角定理，掌握两条异面直线成角的定义与垂直。（3）教学问题诊断，应在具体说明本课内容的认知准备基础上，分析学习新知识中可能存在的困难异面直线画法与成角问题上学生的认知上存在误区，可以借长方体模型突破难点。（4）本节课的教法特点以及预期效果分析借助长方体模型，发现和感知新知，也利用模型巩固新知，预期效果较好。