湖南省桃江四中高一数学《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》课件

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系好好学习天天向上 请叙述三条公理和三条推论回顾如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面经过两条相交直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有一个平面如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 ABCD复习与准备：平面内两条直线的位置关系相交直线平行直线相交直线（有一个公共点）平行直线（无公共点）两路相交立交桥立交桥中,两条路线AB,CDaboab既不平行，又不相交NEXTBACK ABCD六角螺母NEXTBACK a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abM答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？abab合作探究一NEXTBACK练习1：在教室里找出几对异面直线的例子。 NEXTBACK两直线异面的判别二:两条直线不同在任何一个平面内.1.异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。两直线异面的判别一:两条直线既不相交、又不平行.注1 按平面基本性质分同在一个平面内相交直线平行直线不同在任何一个平面内:异面直线有一个公共点:按公共点个数分相交直线无公共点平行直线异面直线NEXTBACK2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 αAa1、平行ab没有公共点2、相交bAαa3、异面没有公共点b有且只有一个公共点共面三、空间两条直线的位置关系 2.异面直线的画法说明:画异面直线时,为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.如图：aabaAbb(1)(3)(2)NEXTBACK 在正方体A1B1C1D1-ABCD中，说出下列各对线段的位置关系ABCDA1B1C1D1（1）AB和C1D1；（2）A1C1和AC；（3）A1C和D1B：（4）AB和CC1；（5）BD1和A1C1； 合作探究二如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有对?FHCBEDGANEXTBACK三对AB与CDAB与GHEF与GH 3.异面直线所成的角(重点、难点)在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于90度的角称为它们的夹角,用以刻画两直线的错开程度,如图.在空间,如图所示,正方体ABCD－EFGH中,异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画呢?ABGFHEDCO(2)问题提出(1)复习回顾NEXTBACK (3)理论支持abced㈠：我们知道,在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?观察:将一张纸如图进行折叠,则各折痕及边a,b,c,d,e,…之间有何关系？a∥b∥c∥d∥e∥…公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．———平行线的传递性NEXTBACK推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行． AEHGFBCD空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证，四边形EFGH是平行四边形.平行线传递性的应用证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH//BD，且EH＝1/2BD.同理，FG//BD，且FG＝1/2BD.所以EH//FG，且EH＝FG.所以，四边形EFGH是平行四边形. ㈡：在平面内,我们可以证明“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”．空间中这一结论是否仍然成立呢？定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．观察:如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC与∠A1D1C1,∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?答:从图中可看出,∠ADC=∠A1D1C1,∠ADC+∠A1B1C1=180OD1C1B1A1CABDNEXTBACK (4)解决问题异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).abb′a′O思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?NEXTBACK异面直线所成的角的范围是(0,90]oo如果两条异面直线a,b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直,记为a⊥b注2a″ NEXTBACK思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?∵a′∥a,a″∥a∴a′∥a″(公理4),解答：如图设a′与b′相交所成的角为∠1,a″与b所成的角为∠2,同理b′∥b″,∴∠1=∠2(等角定理)b′a′O∠1aa″b∠2答:这个角的大小与O点的位置无关. 在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)注3 下图长方体中平行相交异面②BD和FH是直线①EC和BH是直线③BH和DC是直线BACDEFHG(2).与棱AB所在直线异面的棱共有条?4分别是：CG、HD、GF、HE(1)说出以下各对线段的位置关系?NEXTBACK4.例题选讲例1 ABGFHEDC例2如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求(1)BE与CG所成的角？(2)FO与BD所成的角？解:(1)如图:∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又BEF中∠EBF=45，所以BE与CG所成的角是45ooNEXTBACKO连接HA、AF，依题意知O为AH中点,∴∠HFO=30o(2)连接FH，所以FO与BD所成的夹角是30o∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角∵HDEA，EAFB∴HDFB∥=∥=∥=则AH=HF=FA∴△AFH为等边△ NEXTBACK求异面直线所成的角的步骤是:一作(找)：作（或找）平行线二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角。三求：在一恰当的三角形中求出角注4 如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解：(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其补角）为所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其补角）为所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60oNEXTBACK5.课堂练习ABGFHEDC2 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义:相交直线平行直线异面直线空间两直线的位置关系6.课堂小结NEXTBACK公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．异面直线的求法:一作(找)二证三求空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．等角定理：异面直线的画法用平面来衬托异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角 好好学习天天向上BACK作业：P51：6P53：2.