8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系

§8.3空间点、直线、平面之间的位置关系要点梳理1.平面的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.公理2：过的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有过该点的公共直线.两点不共线一条基础知识自主学习 2.直线与直线的位置关系（1）位置关系的分类（2）异面直线所成的角①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的叫做异面直线a,b所成的角(或夹角).②范围：.平行相交任何锐角或直角 3.直线与平面的位置关系有、、三种情况.4.平面与平面的位置关系有、两种情况.5.平行公理平行于的两条直线互相平行.6.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角.平行相交在平面内平行相交同一条直线相等或互补 基础自测1.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分解析如图所示,三个平面α、β、γ两两相交，交线分别是a、b、c且a∥b∥c.则α、β、γ把空间分成7部分.C 2.直线a,b,c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为（）A.1B.3C.6D.0解析以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3个.B 3.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是（）A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能解析如图所示，a∥b,c与d相交,a与d异面.D 4.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（）A.12对B.24对C.36对D.48对解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线B 5.下列命题中不正确的是.①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面. 解析没有公共点的两直线平行或异面,故①错；命题②错,此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线a和b异面，c∥a,则c与b不可能平行，用反证法证明如下：若c∥b,又c∥a,则a∥b，这与a,b异面矛盾，故cb;命题④也正确，若c与两异面直线a,b都相交，由公理3可知，a,c可能确定一个平面,b,c也可确定一个平面，这样,a,b,c共确定两个平面.答案①② 题型一平面的基本性质如图所示，空间四边形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1，CG∶GD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.（1）求AH∶HD；（2）求证：EH、FG、BD三线共点.证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线,点看作是两平面的公共点,由公理3得证.题型分类深度剖析 (1)解∴EF∥AC.∴EF∥平面ACD.而EF平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD=GH，∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH.即AH∶HD=3∶1.（2）证明∵EF∥GH,且∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形.令EH∩FG=P，则P∈EH，而EH平面ABD，P∈FG,FG平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点. 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点.（1）证明三线共点的依据是公理3.（2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题.实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理. 知能迁移1如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°,BCAD,BEFA，G、H分别为FA、FD的中点.（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；（2）C、D、F、E四点是否共面？为什么？（1）证明由已知FG=GA，FH=HD，可得GHAD.又BCAD,∴GHBC,∴四边形BCHG为平行四边形.（2）解方法一由BEAF，G为FA中点知，BEFG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由（1）知BGCH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面.又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面.方法二如图所示，延长FE，DC分别与AB交于点M，M′，∵BEAF，∴B为MA中点.∵BCAD，∴B为M′A中点，∴M与M′重合，即FE与DC交于点M（M′），∴C、D、F、E四点共面. 题型二异面直线的判定(12分)如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点.问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.（1）易证MN∥AC，∴AM与CN不异面.（2）由图易判断D1B和CC1是异面直线，证明时常用反证法. 解（1）不是异面直线.理由：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1AC1C，∴A1ACC1为平行四边形.∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.（2）是异面直线.证明如下：∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面.［3分］［6分］ 假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B平面α，CC1平面α，∴D1、B、C、C1∈α，与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾.∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线.解决这类开放型问题常用的方法有直接法(即由条件入手，经过推理、演算、变形等),如第（1）问，还有假设法，特例法，有时证明两直线异面用直接法较难说明问题,这时可用反证法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推证错误，从而否定假设，则两直线是异面的.［10分］［12分］ 知能迁移2(1)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论：①直线BE与直线CF是异面直线；②直线BE与直线AF是异面直线；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确结论的序号是（）A.①②B.②③C.①④D.②④解析由EF∥AD∥BC，知BE、CF共面，①错；②正确；③正确；④错.故选B.B （2）如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为（注：把你认为正确的结论的序号都填上）.解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误.③④ 题型三求异面直线所成的角正方体ABCD—A1B1C1D1中，（1）求AC与A1D所成角的大小；（2）若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.（1）平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算.（2）可证A1C1与EF垂直. 解(1)如图所示,连接B1C,由ABCD—A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的锐角或直角就是AC与A1D所成的角.∵AB1=AC=B1C，∴∠B1CA=60°.即A1D与AC所成角为60°. (2)如图所示,连接AC、BD,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,AC⊥BD，AC∥A1C1,∵E、F为AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行. 知能迁移3（2009·全国Ⅰ理，7）已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A.B.C.D.解析方法一如图(1),A1D⊥平面ABC，且D为BC的中点,设三棱柱的各棱长为1，则AD=，由A1D⊥平面ABC知A1D=,Rt△A1BD中，易求A1B=图（1） ∵CC1∥AA1，∴AB与AA1所成的角即为AB与CC1所成的角.在△A1BA中,由余弦定理可知cos∠A1AB=∴AB与CC1所成的角的余弦值为方法二如图（2）,建立空间直角坐标系，因为A1D⊥平面ABC，AD⊥BC，由AA1=1知 图（2）答案D 方法与技巧1.主要题型的解题方法（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）.（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理3可知这些点在交线上,因此共线.2.判定空间两条直线是异面直线的方法（1）判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.思想方法感悟提高 （2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的顶点取在其中的一条直线上，特别地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点.总之，顶点的选择要与已知量有关，以便于计算，具体步骤如下： (1)利用定义构造角，可固定一条,平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上；(2)证明作出的角即为所求角；(3)利用三角形来求解.失误与防范1.异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.而不是分别在两个平面内.一定要理解定义.2.求异面直线所成的角要特别注意异面直线所成角的范围是（0°，90°］. 一、选择题1.已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C,A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上,若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点（）A.成钝角三角形B.成锐角三角形C.成直角三角形D.在一条直线上解析D、E、F为已知平面与平面A′B′C′的公共点，由公理2知，D、E、F共线.D定时检测 2.关于直线和平面的四个命题中不正确的是（）A.平行于同一平面的两个平面一定平行B.平行于同一直线的两条直线一定平行C.垂直于同一直线的两条直线一定平行D.垂直于同一平面的两条直线一定平行解析垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还可能相交或异面.C 3.已知α、β是两个不同的平面，直线，直线，命题p:a与b没有公共点，命题q:α∥β，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当a,b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点，但α与β相交.当α∥β时，a与b一定无公共点，∴qp，但pq.B 4.若P是两条异面直线l、m外的任意一点,则()A.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B.过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C.过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D.过点P有且仅有一条直线与l、m都异面解析对于选项A，若过点P有直线n与l,m都平行，则l∥m，这与l,m异面矛盾；对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条；对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条.B 5.正四面体PABC中，M为棱AB的中点,则PA与CM所成角的余弦值为（）A.B.C.D.解析如图所示，取PB中点N，连接CN、MN.∠CMN为PA与CM所成的角（或所成角的补角），设PA=2，则CM=，MN=1，CN=，∴cos∠CMN=C 6.正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面边长为，E为SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析设AC中点为O，则OE∥SC，连结BO，则∠BEO（或其补角）即为异面直线BE和SC所成的角， 答案C 二、填空题7.如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为.解析在平面ABC内，过A作DB的平行线AE，过B作BH⊥AE于H，连接B1H，则在Rt△AHB1中，∠B1AH为AB1与BD所成角，设AB=1，则A1A=，∴B1A=，AH=BD=，∴cos∠B1AH=∴∠B1AH=60°.60° 8.在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有.(填上所有正确答案的序号) 解析图（1）中，直线GH∥MN；图（2）中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图（3）中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图（4）中，G、M、N共面，但H面GMN，∴GH与MN异面.所以图（2）、（4）中GH与MN异面.答案（2）（4） 9.已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.则在上面的结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.解析①、②、④对应的情况如下：用反证法证明③不可能.①②④ 三、解答题10.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：（1）E、C、D1、F四点共面；（2）CE、D1F、DA三线共点.证明（1）分别连结EF、A1B、D1C.∵E、F分别是AB和AA1的中点，∴EFA1B.又A1D1B1C1BC，∴四边形A1D1CB为平行四边形.∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1.∴EF与CD1确定一个平面.∴E、F、D1、C四点共面. （2）∵EFCD1，∴直线D1F和CE必相交,设D1F∩CE=P.∵P∈D1F且D1F平面AA1D1D，∴P∈平面AA1D1D.又P∈EC且CE平面ABCD，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点，而平面ABCD∩平面AA1D1D=AD，∴P∈AD.∴CE、D1F、DA三线共点. 11.已知E和F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1和棱CC1上的点,且AE=C1F,求证:四边形EBFD1是平行四边形.证明如图所示,在DD1上取一点G,使D1G=A1E，则易知A1ED1G，∴四边形A1EGD1为平行四边形，∴EGA1D1.又∵A1D1B1C1，B1C1BC，∴EGBC，∴四边形GEBC是平行四边形，∴EBGC.又∵D1GFC,∴四边形D1GCF是平行四边形,∴GCD1F，∴EBD1F，∴四边形EBFD1是平行四边形. 12.如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是线段AD、BC上的点，AB=CD=3，，求AB、CD所成角的大小.解如图所示，在线段BD上取一点G，使连接GF、GE、EF. ∴∠EGF=120°.由GF∥CD,GE∥AB可知,AB与CD所成的角应是∠EGF的补角为60°.返回