一空间点、直线、平面之间的位置关系

一．空间点、直线、平面之间的位置关系1.常见于选填题，也有部分出现在解答题中。主要考察点的位置，直线间的相交平行与异面，直线与平面的相交与平行，平面与平面的相交与平行2.判定异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的取值范围与求解方法范围：方法：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．4.例题1.概念辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.( √ )(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( × )(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.( × )(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( × )(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面．( √ )(6)没有公共点的两条直线是异面直线．( × )2.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案 ②③④3.(1)(2014·大纲全国)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(  )A.B.C.D.(2)直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(  )A．30°B．45°C．60°D．90°答案 (1)B (2)C二．线面平行的判定与性质1.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．2．解题中注意符号语言的规范应用． 3.判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．4.证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义（无公共点）；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．5.例题1.概念辨析(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × )(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( × )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( × )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ )(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × )(6)空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则EF∥平面BCD.( √ )(7)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( × )2.(2014·安徽)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH. (1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．四边形GEFH的面积S＝18.3.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝a，试在AB上找一点F，使EF∥平面PAD.（点F是AB上靠近B点的一个三等分点）4.如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．(1)求三棱锥A—PDE的体积；(2)AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．（1）（2）AM的长为三．线面垂直的判定与性质关于线面垂直的思想方法： （1）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(2)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．（3）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；②判定定理1：⇒l⊥α；③判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；④面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；⑤面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.2.面面垂直的思想方法与关注点(1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．(2)证明面面垂直的方法①利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；②判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.3.证明线线垂直的方法①定义：两条直线所成的角为90°；②平面几何中证明线线垂直的方法；③线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；④线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.4.线面角和二面角的范围与求解线面角：［0，∏/2］二面角：［0，∏］5.例题1.概念辨析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( × )(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．( √ ) (3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ )(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.( × )(5)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β.( √ )(6)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( × )2.(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案 (1)外 (2)垂3.如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.求证：PA⊥CD.4.(2015·山东)如图，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．①求证：BD∥平面FGH；②若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH. 5.例3 如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．6.如图(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)所示．(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由． 7.(2015·湖北)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.(1)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值．（（1）四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB.（2）＝4.）