高等数学课件——空间中直线与直线之间的位置关系

2.1.4空间中直线与直线之间的位置关系 学习目标:1、熟练掌握异面直线定义；2、理解掌握空间两直线的位置关系;3、熟练掌握平行公理4，并会简单应用;4、理解掌握等角定理及其推论;5、熟练掌握异面直线所成角定义；6、掌握求两异面直线所成角的方法。 南海万泉河立交桥 ABCD六角螺母 定义1:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。注：概念应理解为:“经过这两条直线无法作出一个平面”.或:“不可能找到一个平面同时经过这两条直线”．定义2:不相交也不平行两条直线叫做异面直线。注意:分别在某两个平面内的两条直线不一定是异面直线,它们可能是相交,也可能是平行.一、异面直线: 异面直线的画法:Abababa A1B1C1D1CBDA练习：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？答案：D1C1、C1C、CD、D1D、AD、B1C1 探究:HGCADBEFGHEF(B)(C)DAAB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对?相交直线有几对?平行直线有几对? 想一想：在空间中两条直线的位置关系？ 二、空间两直线的位置关系：(1)从公共点的数目来看，可分为：①有且只有一个公共点——两直线相交②没有公共点两直线平行两直线为异面直线 (2)从平面的性质来讲，可分为：两直线相交①在同一平面内两直线平行②不在同一平面内——两直线为异面直线 问题：在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？ 若a∥b，b∥c,则a∥ccaabccaα公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(空间平行直线的传递性) 空间四边形：如图，顺次连结不共面的四点A、B、C、D所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.ABCD相对顶点A与C，B与D的连线AC、BD叫做这个空间四边形的对角线. 例1：已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证EFGH是一个平行四边形。解题思想：∵EH是△ABD的中位线∴EH∥BD且EH=BD同理，FG∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一个平行四边形证明：连结BD把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。ABDEFGHC 同一平面内： 问题：在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等吗？αβ 方向相同或相反，结果如何？αβγ 一组边的方向相同，而另一组边的方向相反，又如何？αβ 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 三、异面直线所成角的定义：直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a1∥a,b1∥b,把直线a1和b1所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。平移法 如果两条异面直线所成的角为直角，那么就称这两条异面直线垂直。异面直线a和b所成的角的范围： 强调:1)范围2)与0的位置无关；3)为了方便点O选取应有利于解决问题，可取特殊点(如a或b上)；4)找两条异面直线所成的角，要作平行移动(平行线)，把两条异面直线所成的角，转化为两条相交直线所成的角. 45o例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数。 例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直？ 一作(找)、二证、三求(1)通过直线平移，作出异面直线所成的角，把空间问题转化为平面问题。(2)利用平面几何知识，求出异面直线所成角的大小。四、异面直线所成角的求法： 例3:在正方体ABCD-A’B’C’D’中，棱长为a，E、F分别是棱A’B’，B’C’的中点，求：①异面直线AD与EF所成角的大小；②异面直线B’C与EF所成角的大小；③异面直线B’D与EF所成角的大小.平移法OGAC∥A’C’∥EF,OG∥B’DB’D与EF所成的角即为AC与OG所成的角,即为∠AOG或其补角. 再见!立体几何