2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系 (2)

2.3.1直线与平面垂直的判定[课时作业][A组 基础巩固]1．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是(  )A．①③  B．②   C．②④   D．①②④解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两直线有可能平行．答案：A2.如图，BC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，那么图中直角三角形的个数是(  )A．5B．6C．7D．8解析：题图中直角三角形有△ABC，△ADC，△ADB，△PAD，△PAC，△PAB，△PDC，△PDB.答案：D3.如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为(  )A．75°B．60°C．45°D．30°解析：SO⊥平面ABCD，则∠SAC就是侧棱与底面所成的角，在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝，∴∠SAO＝45°.答案：C4．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(  )A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交解析：取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C.答案：C5．已知P是△ABC所在平面外的一点，点P与AB、AC、BC的距离相等，且点5 P在△ABC上的射影O在△ABC内，则O一定是△ABC的(  )A．内心B．外心C．重心D．中心解析：如图所示，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，分别交AB、AC、BC于点D、E、F.O是点P在平面ABC内的射影，连接OD、OE、OF.因为点P到AB、AC、BC的距离相等，且PO⊥平面ABC，所以PD＝PE＝PF，PO＝PO＝PO，又因为∠POD＝∠POE＝∠POF＝90°，所以OD＝OE＝OF，因为PO⊥AB，PD⊥AB，且PD∩PO＝P.所以AB⊥平面POD，所以AB⊥OD.同理可证得OF⊥BC，OE⊥AC.又因为OD＝OE＝OF，所以点O到三角形三边的距离相等，故点O为△ABC的内心，故选A.答案：A6．在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值大小是________．解析：画出三棱锥(图略)，将OM与平面ABC所成的角放在直角三角形OMC中求解，易知tan∠OMC＝＝＝.答案：7．已知a，b，c是三条直线，α是平面．若c⊥a，c⊥b，a⊂α，b⊂α，且________(填上一个条件即可)，则有c⊥α.解析：由直线与平面垂直的判定定理知，若c⊥α，需c垂直平面α内的两条相交直线．答案：a∩b＝A8.如图所示，在正三棱锥ABCD中，E，F分别为BD，AD的中点，EF⊥CF，则直线BD与平面ACD所成的角为________．解析：因为三棱锥ABCD为正三棱锥，所以可证AB⊥CD.又EF⊥CF，所以AB⊥CF，所以AB⊥平面ACD，故可知直线BD与平面ACD所成的角为∠BDA＝45°.答案：45°9.如图，在△ABC中，∠B＝90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为N、M.求证：MN⊥SC.证明：∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC.∵∠B＝90°，即AB⊥BC，AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB.∵AN⊂平面SAB，∴BC⊥AN.又∵AN⊥SB，SB∩BC＝B，∴AN⊥平面SBC.∵SC⊂平面SBC.∴AN⊥SC.5 又∵AM⊥SC，AM∩AN＝A，∴SC⊥平面AMN.∵MN⊂平面AMN，∴SC⊥MN.10.如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°.(1)求证：CD⊥平面ABC；(2)求直线BD与平面ACD所成角的大小．解析：(1)证明：∵BD是底面圆的直径，∴CD⊥BC.又AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵AB∩BC＝C，∴CD⊥平面ABC.(2)取AC的中点E，连接DE(图略)，由(1)知BE⊥CD，又E是AC的中点，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，∴BE⊥AC，∴BE⊥面ACD，∴直线BD与面ACD所成的角为∠BDE.而BE⊥面ACD，则BE⊥ED，即△BED为直角三角形．又AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，则BD＝2，BE＝，∴sin∠BDE＝＝，∴∠BDE＝30°.[B组 能力提升]1.如图所示，在正四棱锥SABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的(  )解析：如图所示，连接BD与AC相交于点O，连接SO，取SC的中点F，取CD的中点G，连接EF，EG，FG，因为E，F分别是BC，SC的中点，所以EF∥SB，EF⊄平面SBD，SB⊂平面SBD，所以EF∥平面SBD，同理可证EG∥平面SBD.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面SBD，由题意得SO⊥平面ABCD，AC⊥SO，因为AC⊥BD，又SO∩BD＝O，所以AC⊥平面SBD，所以AC5 ⊥平面EFG，所以AC⊥GF，所以点P在直线GF上．答案：A2．如图所示，下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形的序号)解析：按照线面垂直的判定定理判断，关键是在平面MNP内找到两条与l垂直的相交直线．答案：①④⑤3.如图所示，∠ACB＝90°，平面ABC外有一点P，PC＝4cm，PF，PE垂直于BC，AC于点F，E，且PF＝PE＝2cm，那么PC与平面ABC所成角的大小为________．解析：过P作PO垂直于平面ABC于O，连接CO，则CO为∠ACB的平分线．连接OF，可证明△CFO为直角三角形，CO＝2，Rt△PCO中，cos∠PCO＝，∠PCO＝45°.答案：45°4.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形．已知AD＝2，PA＝2，PD＝2，求证：AD⊥平面PAB.证明：在△PAD中，由题设PA＝2，AD＝2，PD＝2，可得PA2＋AD2＝PD2，于是AD⊥PA.在矩形ABCD中，AD⊥AB，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB.5.如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC上的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC.(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.连接BD，在Rt△ABC中，有AD＝DC＝DB，所以△SDB≌△SDA，所以∠SDB＝∠SDA，5 所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，所以BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.5