课时作业46空间点、直线、平面之间的位置关系

课时作业46空间点、直线、平面之间的位置关系■■•■・•■■■■•■■••■■■••A全员必做一、选择题1.若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（）A・充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必耍条件解析:若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行•若两条直线是异面直线，则两条真线必无公共点.答案:A2.若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条真线的位置关系是（）A.平行B.异面C.相交D.平行、异面或相交解析：经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.答案：D3.若空间三条直线a,b,C满足Q丄b,b〃c,则直线Q与c（）A・一定平行B・一定相交C.一定是异面直线D.—定垂直解析：两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第 三条直线垂直，故选D.答案:D4・已知正以棱柱ABCD—AXBXCXDX中，AAX=1AB.E为加】的中解析：取QU的中点F,连接CF,ZD{CF为肚与CD所成的所成角的余弦值为'晋.答案:c5・已知空间中有三条线段力3,BC和CD,HZABC=ZBCD9那么直线AB与CD的位置关系是（）A.AB//CDB./B与CD异面C・与CD相交D・AB//CD或与CD异面或与CD相交解析：若三条线段共面，如果BC,CD构成等腰三角形，则直线与CQ相交，否则直线与CQ平行；若不共面，则直线AB与CD是异而直线.答案:D6・已知Q,b,C为三条不同的直线，且QU平面M,bu平面N,MQN=c•①若。与b是异面直线，则c至少与q,b中的一条相交； ②若q不垂直于c,则Q与b—定不垂直；③若Q〃b,则必有a//c；④若Q丄b,Q丄c,则必有MLN.其中正确命题的个数是（）A.0B・1 解析：命题①③止确，命题②④错误.其中命题②中Q和b有可能垂直；命题④屮当b//c时，平面M,N有可能不垂直，故选C.答案：c二、填空题7・三条直线可以确定三个平面，这三条直线的公共点个数是解析：因三条直线可以确定三个平面，所以这三条直线有两种情况：一是两两和交，有1个交点；二是互相平行，没有交点.答案：0或18・已知止方体ABCD—A}BXC}D}中，E、F分别为BB、、的中点，那么异面直线/E与0尸所成角的余弦值为・解析：如图，连接DF,因为QF与/E平行，所以ZDFD,即为异血直线M与QF所成角的平面角，设正方体的棱长为2,则FD严FD=yft,由余弦定理得cosZDFD(^5)2+(^5)2-223—2X(^5)2—彳3答案：59.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且 AB//CD,则直线EF与正方体的六个而所在的平面相交的平面个数为 解析：在正四面体中取CD的中点G,连接FG,EG,作阳丄平面CDE于点H.因为正四面体的高在平面EFG内，且FH平行于正方体的高，・••可证得平面EFG平行于正方体的左、右两个侧面，故直线EF仅与正方体的六个面中的上、下两个平面及前、后两个平面相交，共4个.答案:4三、解答题9.如图所示，四边形ABEF和4BCZ）都是直角梯形，ZBAD=ZE4B=90。,BCG、H分别为E4、FD的屮点.（1）证明：四边形BCHG是平行四边形；⑵C、D、F、E四点是否共而？为什么？解：（1）证明：由已知FG=G/,FH=HD,可得GH碍4D.又BC純・・・GH統BC,・••四边形BCHG为平行四边形. ⑵由BEG为刊中点知，BE続FG,・•・四边形BEFG为平行四边形，:・EF〃BG.由⑴知BG純CH,:.EF//CH,:.EF与CH共面.又DWFH,:.C.D、F、E四点共面.C】9.已知三棱柱ABC—A.B.C,的侧棱长和底面边长均为2,⑷在底面/3C内的射影0为底面的屮心，如图所示：(1)连接BG，求异面直线441与所成角的大小；(2)连接4C,久B,求三棱锥G—BC4\的体积.解：(1)连接力0,并延长与BC交于点Q,则/Q是BC边上的中线.•••点O是正△/BC的中心，HA}0丄平面/BC,:.BC丄仙，BCLAXO.9：AD^Ax0=0,:.BC丄平面ADA}. :.BCLAAX.又九4i〃CCi，・•・异而直线AAX与BC{所成的角为ZBCCVCCi±5C,即四边形BCC\B\为正方形,・•・异面直线与BC\所成角的大小为%(2)・・•三棱柱的所有棱长都为2,二可求得AD=yj3,AO=^AD=^-^-9AiO=y^AA\—AO1=^-^-.:.VABC—A/1Ci=Smbc'A10=2^2,VAX—BXCXCB=VABC—A{BXC{-••A冲击名綾1・已知加，n为异面直线，加丄平面a,〃丄平面0•直线/满足/丄加，/丄〃，IQa,邯,贝11（）A・a〃0,且I//aB・a邛,•且/丄”C・么与0相交，且交线垂直于/D・a与”相交，且交线平行于/解析：由题意可知a与0相交，可能垂直，故A,B错；因交线分别垂直于异面直线加，n,乂/丄加，/丄n,IQa,I邛,所以交线平彳亍于人故选D.答案:D2・（2014-大纲全国卷）已知二面角a—A—0为60。，ABJ,人BJJ,/为垂足，CDU/3,Ce/,Z/CQ=135。，则杲面直线与CD所成角的余弦值为（）A-4 解析:如图，在平面a内过C作CE//AB,则ZECD为异而直线力3与CQ所成的角或其补角，不妨取CE=\,过E作E0丄0于O在平面0内过0作0H丄CD于H,连EH,则£7/丄CD因为AB//CE,4BJJ,所以CE丄/.又因为EO丄平而0,所以CO丄厶故ZECO为二面角a—/一0的平面角，所以ZECO=60°.而Z^CZ)=135°,CO丄/,所以ZOCH=45°.在RtA^CO中，CO=CExosZECO=1cos60°=^1、/2在RtACOH中，CH=COcosZOCH=^sin45°=^.乎在RtA£C/7中，cosZECH=^=令=咅.答案：B3.如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SB丄底面ABCD.底面ABCD为梯形，力3丄AD,AB//CD,48=1,AD=3,CD=2.若点E是线段AD上的动点，则满足ZSEC=90°的点E的个数是 CD答图题图解析：由于SB丄底面ABCD,SE在底面ABCD上的射影为BE,要使Z5£C=90°,只要BE丄EC即可.rfl平面几何知识可知，以BC为直径的圆与/D有两个交点，故满足条件的E点的个数是2.答案：24.如图，在棱长为a的正方体ABCD—AXB{C,D{中，点E是棱QQ的中点，点F在棱3/上，且满足B、F=2BF.(1)求证：EF丄AiQ；(2)在棱GC上确定一点G,使E,G,F四点共面，并求此时GG的长.解：(1)证明：如图所示，连接BQ】,•••^BCD—^BGD、为正方体，.••四边形45CQ为正方形.:.AXCX丄BQi，且财1丄平面M0iCQi・A]Ci丄BB\.•••BQMBB严B“・・・/]C]丄平面BB\D、D. TEFU平面BBQQ,・・・EF丄A{C{.(2)如图所示，假设E,G,F四点共面，则E,G,尸四点确定平面AEGF,9：ABCD—AXB{C{D{为正方体，・••平面AA{D{D〃平血BB{C{C.•・•平面AEGFQ平面人4\DQ=ME,平面/EGFQ平面BB、C\C=GF,・•・由平面与平面平行的性质定理得AE//GF,同理可得AF//GE,因此四边形AEGF为平行四边形,・・・GF=AE.爭,在RtMDE中，AD=a,DE=*DD、=%,ZMDE=90。,由勾股定理得AE=y/ADZ+DE1^\a2+22在直角梯形B\C\GF中，卜底B\F=)BB,直角腰BiC\=a,斜腰GF=AE=¥~a,由勾股定理可得黑+(5F—QG)2=寸孑+扌a_C\G2=半(7,结合图形可知GGvBiF,解得C|G=£.