第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系
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第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

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时间:2022-08-15

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资料简介
第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.下列命题正确的个数为(  ).①经过三点确定一个平面;②梯形可以确定一个平面;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.A.0B.1C.2D.3解析 ①④错误,②③正确.答案 C2.若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是(  ).A.平行B.异面C.相交D.平行、异面或相交解析 经验证,当平行、异面或相交时,均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现,故选D.答案 D3.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分为(  )A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分解析垂直于交线的截面如图,把空间分为7部分.答案C4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是BD1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是(  ). A.A1、M、O三点共线B.M、O、A1、A四点共面C.A、O、C、M四点共面D.B、B1、O、M四点共面解析 因为O是BD1的中点.由正方体的性质知,点O在直线A1C上,O也是A1C的中点,又直线A1C交平面AB1D1于点M,则A1、M、O三点共线,A正确;又直线与直线外一点确定一个平面,所以B、C正确.答案 D5.一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中(  ).A.AB∥CDB.AB与CD相交C.AB⊥CDD.AB与CD所成的角为60°解析 如图,把展开图中的各正方形按图(a)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原,得到图(b)所示的直观图,可见选项A、B、C不正确.∴正确选项为D.图(b)中,DE∥AB,∠CDE为AB与CD所成的角,△CDE为等边三角形,∴∠CDE=60°.答案 D6.如图,四棱锥SABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是(  ).A.AC⊥SBB.AB∥平面SCD C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析 选项A正确,因为SD垂直于平面ABCD,而AC在平面ABCD中,所以AC垂直于SD;再由ABCD为正方形,所以AC垂直于BD;而BD与SD相交,所以,AC垂直于平面SBD,进而垂直于SB.选项B正确,因为AB平行于CD,而CD在平面SCD内,AB不在平面SCD内,所以AB平行于平面SCD.选项C正确,设AC与BD的交点为O,连接SO,则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO,SC与平面SBD所成的角就是∠CSO,易知这两个角相等.选项D错误,AB与SC所成的角等于∠SCD,而DC与SA所成的角是∠SAB,这两个角不相等.答案 D二、填空题7.已知a,b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a,b在α上的射影有可能是:①两条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.在上面结论中,正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号).解析 只有当a∥b时,a,b在α上的射影才可能是同一条直线,故③错,其余都有可能.答案 ①②④8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为棱C1D1、C1C的中点,有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论的序号都填上).解析 直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故①②错误.答案 ③④ 9.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=4,将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置,使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上,则异面直线A′B与CD所成角的大小为________.解析如题图所示,由A′O⊥平面ABCD,可得平面A′BC⊥平面ABCD,又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC,DC⊥A′B,即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.答案90°10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条.解析 法一 在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的位置就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点.如图所示.法二 在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α,因CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.答案 无数三、解答题11.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC綉AD,BE綉FA,G、H分别为FA、FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)C、D、F、E四点是否共面?为什么? (1)证明 由已知FG=GA,FH=HD,可得GH綉AD.又BC綉AD,∴GH綉BC,∴四边形BCHG为平行四边形.(2)解 由BE綉AF,G为FA中点知,BE綉FG,∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面.又D∈FH,∴C、D、F、E四点共面.12.在长方体ABCD-A1B1C1D1的A1C1面上有一点P(如图所示,其中P点不在对角线B1D1)上.(1)过P点在空间作一直线l,使l∥直线BD,应该如何作图?并说明理由;(2)过P点在平面A1C1内作一直线m,使m与直线BD成α角,其中α∈,这样的直线有几条,应该如何作图?解 (1)连接B1D1,BD,在平面A1C1内过P作直线l,使l∥B1D1,则l即为所求作的直线,如图(a).∵B1D1∥BD,l∥B1D1,∴l∥直线BD.图(a)(2)∵BD∥B1D1,∴直线m与直线BD也成α角,即直线m为所求作的直线,如图(b).由图知m与BD是异面直线,且m与BD所成的角α∈.当α=时,这样的直线m有且只有一条,当α≠时,这样的直线m有两条. 图(b)13.如图,空间四边形ABCD中,E、F分别是AD、AB的中点,G、H分别在BC、CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.(1)求证:E、F、G、H四点共面;(2)设FG与HE交于点P,求证:P、A、C三点共线.证明 (1)△ABD中,E、F为AD、AB中点,∴EF∥BD.△CBD中,BG∶GC=DH∶HC=1∶2,∴GH∥BD,∴EF∥GH(平行线公理),∴E、F、G、H四点共面.(2)∵FG∩HE=P,P∈FG,P∈HE,⇒P∈直线AC.∴P、A、C三点共线.14.在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.(1)求四棱锥的体积;(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.解 (1)在四棱锥P-ABCD中,∵PO⊥面ABCD,∴∠PBO是PB与面ABCD所成的角,即∠PBO=60°,在Rt△POB中,∵BO=AB·sin30°=1, 又PO⊥OB,∴PO=BO·tan60°=,∵底面菱形的面积S菱形ABCD=2.∴四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=×2×=2.(2)取AB的中点F,连接EF,DF,∵E为PB中点,∴EF∥PA,∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角).在Rt△AOB中,AO=AB·cos30°==OP,∴在Rt△POA中,PA=,∴EF=.在正三角形ABD和正三角形PDB中,DF=DE=,∴cos∠DEF====.即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.

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