空间中直线与直线间的位置关系

新课导入同一平面内的直线有哪些位置关系？aboab相交平行回顾旧知如何判断两直线相交？两直线有公共交点。如何判断两直线平行？两直线在同一平面，且无公共交点。 （1）了解空间中两条直线的位置关系。（2）初步理解并掌握公理4和等角定理。（3）异面直线所成角的定义、范围及求法。学习目标：学习重点：（1）公理4和等角定理；（2）异面直线所成角的定义、范围及求法。2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 在正方体A1B1C1D1-ABCD中，说出下列各对线段的位置关系ABCDA1B1C1D1（1）AB和C1D1；（2）A1C1和AC；（3）A1C和D1B：（4）AB和CC1；（5）BD1和A1C1；一、复习引入平行平行相交异面异面 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skewlines）空间两条直线的位置关系：共面直线异面直线相交直线平行直线不同在任何一个平面内，没有公共点。同一平面内，有且只有一个公共点同一平面内，没有公共点； ab异面直线的画法为表示异面直线不共面得特点，常以平面衬托。 下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有对。DBACEFHG3直线EF和直线HG直线AB和直线HG直线AB和直线CD探究 如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'//AA',DD'//AA',那么BB'与DD'平行吗？平行观察 在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线相互平行．在空间中，如果两条直线都与第三条直线平行，是否也有类似的规律？思考 平行于同一条直线的两条直线互相平行。———平行线的传递性在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行。公理４：推广： 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形。BCADEFHG例2所以，四边形EFGH是平行四边形。所以EH//FG，且EH=FG同理FG//BD,且所以EH//BD,且证明：连接BD，因为EH是的中位线，变式：若再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？菱形空间四边形：如图，顺次连结不共面的四点A、B、C、D所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.相对顶点A与C，B与D的连线AC、BD叫做这个空间四边形的对角线. AOBCPD在平面上，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.思考 空间中，该结论是否仍然成立？在平行六面体中，，，的两对边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。定理———等角定理思考：等角定理在什么情况下这两个角相等？空间中如果有两个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。推论： 夹角在平面内两直线相交成四个角，不大于90°的角成为夹角。ab夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线通过异面直线所成的角来刻画。平面内夹角的定义平面内两直线相交所成夹角的范围： OO异面直线所成的角为简便，O点常取在某一直线上异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). 如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这两条直线相互垂直．记作：注：异面直线所成角的范围 请同学们思考一下，空间的两条直线的位置关系有哪些呢？空间两条直线的位置关系有三种：位置关系共面情况公共点个数相交直线平行直线异面直线在同一平面内在同一平面内不在任何一平面内有且只有一个没有没有思考： （1）在长方体ABCD-A'B'C'D'中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？探究有，如AB和CC’，AB和DD’。 垂直（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？垂直分为两种：相交直线的垂直异面直线的垂直 （3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？不一定如图，若，则c垂直于内所有直线，而内任意两条直线的关系可能是平行，也可能是相交。 例3.如图，正方体中，A1B1与C1C所成的角AD与B1B所成的角A1D与BC1所成的角D1C与A1A所成的角A1D与AC所成的角ABCDA1B1C1D1 例4、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'中。（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？（2）直线BA'和CC'的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线成异面直线的有直线 如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D'中。（1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？（2）直线BA'和CC'的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？(3)直线与直线都垂直.解：（2）由可知，为异面直线和的夹角, ABGFHEDC例5如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求(1)BE与CG所成的角？(2)FO与BD所成的角？解:(1)如图:∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又BEF中∠EBF=45，所以BE与CG所成的角是45ooO连接HA、AF，依题意知O为AH中点,∴∠HFO=30o(2)连接FH，所以FO与BD所成的夹角是30o∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角∵HDEA，EAFB∴HDFB∥=∥=∥=则AH=HF=FA∴△AFH为等边三角形求异面直线所成角的步骤：一作（找）、二证、三求. ADCBFE练习、在三棱锥A-BCD中AD=BC=2a，E，F分别是AB，CD的中点EF=，求AD和BC所成的角.M∠EMF=120ºAD和BC所成的角为60º切记:别忘了角的范围!! 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。异面直线的定义:相交直线平行直线异面直线空间两直线的位置关系课堂小结公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．异面直线的求法:一作(找)二证三求空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．等角定理：异面直线的画法用平面来衬托异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角 一、下图长方体中平行相交异面②BD和FH是直线①EC和BH是直线③BH和DC是直线BACDEFHG㈡与棱AB所在直线异面的棱共有条?4分别是：CG、HD、GF、HE㈠说出以下各对线段的位置关系?当堂检测 1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。3）a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是异面直线。4）a与b是共面，b与c是共面，则a与c共面。错错错错2）aα,bα,则a,b一定异面。二、判断 1.两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系是()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.可能是平行直线D.可能是异面直线，也可能是相交直线2.一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.相交或异面三、选择DD 3.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（）A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能4.异面直线a，b满足a，b，∩=l，则l与a，b的位置关系一定是（）A.l与a，b都相交B.l至少与a，b中的一条相交C.l至多与a，b中的一条相交D.l至少与a，b中的一条平行BD