2018版高中数学点直线平面之间的位置关系2.12.1.2空间中直线与直线之间的位置关系学案新人教a版

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系目标定位 1.理解异面直线的定义，并能正确画出两条异面直线.2.会用反证法证明两条直线是异面直线，会求两异面直线所成的角.3.理解公理4和等角定理.自主预习1.空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系有且只有三种.(1)若从公共点的数目分，可以分为①只有一个公共点——相交.②没有公共点(2)若从平面的基本性质分，可以分为①在同一平面内②不同在任何一个平面内——异面.2.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线的画法3.平行公理(公理4)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性.符号表述：⇒a∥c.4.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.5.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)异面直线所成的角θ的取值范围：(0°，90°].(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.即时自测1.判断题 (1)若两条直线无公共点，则这两条直线平行.(×)(2)若两直线不是异面直线，则必相交或平行.(√)(3)过平面外一点与平面内一点的直线：与平面内的任意一条直线均构成异面直线.(×)(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.(×)提示 (1)空间两直线无公共点，则这两条直线可能平行，也可能异面.(3)过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线.(4)和两条异面直线都相交的两直线有可能是相交直线也有可能是异面直线.2.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(  )A.共面B.平行C.异面D.平行或异面解析 若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.答案 D3.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形(  )A.全等B.不相似C.仅有一个角相等D.相似解析 由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故应选D.答案 D4.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________.解析 取A1B1的中点M，连接GM、HM，因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、H、G为A1B1、B1C1、B1B的中点，所以△GMH为正三角形，∠MGH为EF与GH所成的角，所以∠MGH＝60°.答案 60°类型一 空间两条直线位置关系的判断【例1】如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________.解析 直线D1D与直线D1C显然相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，且B1∉A1B，则直线A1B与直线B1C“异面”.同理，直线AB与直线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”.答案 ①平行 ②异面 ③相交 ④异面规律方法 1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断.2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.【训练1】(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则(  )A.a∥cB.a、c是异面直线C.a、c相交D.a、c平行或相交或异面(2)若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c(  )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线解析 (1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面.(2)若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c.答案 (1)D (2)C类型二 公理4、等角定理的应用【例2】在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点，求证：(1)EF綉E1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.证明 (1)连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E、F分别为AB、AD的中点， 所以EF綉BD.同理，E1F1綉B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，因此，BD綉B1D1，又EF綉BD，E1F1綉B1D1，所以EF綉E1F1.(2)取A1B1的中点M，连接F1M，BM，则MF1綉B1C1，又B1C1綉BC，所以MF1綉BC.所以四边形BMF1C为平行四边形，因此，BM∥CF1.因为A1M＝A1B1，BE＝AB，且A1B1綉AB，所以A1M綉BE，所以四边形BMA1E为平行四边形，则BM∥A1E.因此，CF1∥A1E，同理可证A1F∥CE1.因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.规律方法 (1)空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形中位线，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.【训练2】如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点. (1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.证明 (1)在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.同理FG∥BD，则EH∥FG.故E，F，G，H四点共面.(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD.类型三 求异面直线所成的角(互动探究)【例3】如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝，求异面直线AD、BC所成角的大小.[思路探究]探究点一 异面直线所成的角的范围是多少？提示 (0°，90°]探究点二 求异面直线所成的角分哪三步？三角形的中位线有什么作用？提示 求异面直线所成的角分三步：作，证，求.三角形的中位线是立体几何中常用到的线段，是解决立体几何问题最重要的辅助线，三角形中位线的性质是求两条异面直线所成角的基础.解 如图，取BD的中点M，连接EM、FM.因为E、F分别是AB、CD的中点，所以EM綉AD，FM綉BC，则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角. AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝EF＝，则sin∠EMH＝，于是∠EMH＝60°，则∠EMF＝2∠EMH＝120°.所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°.规律方法 1.异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点.2.求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)作角：平移成相交直线.(2)证明：用定义证明前一步的角为所求.(3)计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围.【训练3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是________；(2)AC和D1C1所成的角是________；(3)AC和B1D1所成的角是________；(4)AC和A1B所成的角是________.解析 (1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°.(2)∵D1C1∥DC，所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得∠ACD＝45°.(3)∵BD∥B1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.(4)∵A1B∥D1C，△ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60°.答案 (1)90° (2)45° (3)90° (4)60°[课堂小结]1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角为θ，且0°