数学212《空间中直线与直线之间的位置关系》课件（新人教版必修2）

空间中直线与直线的位置关系 判断下列直线的位置关系:1、竖直的两条电线杆所在的直线思考:在平面内，两条不重合的直线之间有几种位置关系?2、十字路口的两条路所在的直线3、教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线空间的两直线呢? 1.空间中两条直线的位置关系观察：观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线,想一想:它们相交吗?平行吗?共面吗?观察正方体的棱所在直线,回答类似的问题.思考：我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢？ lmPml图1图2llll空间中两直线的位置关系从图中可见，直线l与m既不相交，也不平行。空间中直线之间的这种关系称为异面直线。 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的两条直线）不同在任何一个平面内1、异面直线判断：直线m和l是异面直线吗?αβlmml(1)(2),则与是异面直线(3)a,b不同在平面内,则a与b异面 异面直线的画法:通常用一个或两个平面来衬托,异面直线不同在任何一个平面的特点 这样表示a、b异面正确吗？αβba 想一想,做一做：1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？ a,b,c是三条直线,若a,b是异面直线,b,c是异面直线,判断a,c的位置关系,并画图说明.想一想,做一做： 2.下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？想一想,做一做：HGFEDCBA三对AB与CDAB与GHEF与GH3. 异面直线的判定定理异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线与是异面直线 例1.已知空间四边形ABCD，E、F分别为BC、DA的中点.求证：AE和CF是异面直线ABCDEF证明:所以AE和CF是异面直线 空间两条直线的位置关系有且只有三种平行相交异面位置关系公共点个数是否共面没有只有一个没有共面不共面共面空间中两条直线的位置关系 2. 空间两平行直线提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？平行吗?中,观察：如图2.1.2-5,长方体与那么DD'∥AA'BB'∥AA' 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。a∥bc∥ba∥c符号表示：设空间中的三条直线分别为a,b,c,若想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的规律? 例题示范例1：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。分析：欲证EFGH是一个平行四边形只需证EH∥FG且EH＝FGE，F，G，H分别是各边中点连结BD,只需证：EH∥BD且EH＝BDFG∥BD且FG＝BDABDEFGHC 例题示范例1：在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。ABDEFGHC∵EH是△ABD的中位线∴EH∥BD且EH=BD同理，FG∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴EFGH是一个平行四边形证明：连结BD 变式一：在例1中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形?EHFGABCD分析：在例题1的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。菱形 变式二：空间四面体A--BCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且，求证:四边形ABCD为梯形.ABCDEHFG分析：需要证明四边形ABCD有一组对边平行，但不相等。 ＡＢＣＤＥＰＭＮ例3、如图，Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一点，Ｄ、Ｅ分别是△ＰＡＢ和△ＰＢＣ的重心。求证：ＤＥ∥ＡＣ，ＤＥ＝　ＡＣ１３ １、一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（　）Ａ、平行　　　Ｂ、相交Ｃ、异面　　　Ｄ、可能平行、可能相交、可能异面２、两条异面直线指的是（　）Ａ、没有公共点的两条直线Ｂ、分别位于两个不同平面的两条直线Ｃ、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线Ｄ、不同在任何一个平面内的两条直线练习： 3、下列命题中，其中正确的是（１）若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行（２）若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行（３）若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行（４）若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行 3. 等角定理提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢?观察思考：如图,∠ADC与∠A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 3. 等角定理定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 3. 等角定理定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 两直线的夹角：两直线相交所成的4个角中,其中不大于的角叫做两直线的夹角 三、两条异面直线所成的角如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作a，b的平行线a′和b′，abPa′b′O则这两条线所成的锐角θ（或直角），θ称为异面直线a，b所成的角。？任选Oa′若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直。异面直线a与b垂直也记作a⊥b异面直线所成角θ的取值范围：平移 异面直线所成的角如果两条异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作a⊥b。 例1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，指出下列各对线段所成的角：1）AB与CC1；2）A1B1与AC；3)A1B与D1B1。B1CC1ABDA1D11）AB与CC1所成的角=90°2）A1B1与AC所成的角=45°3）A1B与D1B1所成的角=60°※求异面直线所成角的一般步骤:(1)平移作角——作(2)补形说角——证(3)计算求角——求 例2.正四面体ABCD(四个面都是全等的等边三角形)中,M,N分别是BC和AD的中点,求异面直线AM和CN所成角的余弦值.ABCDMNH解:连结DM，取DM中点H连结NH、CH，则有NH∥AM所以∠CHN为AM和CN所成的角令BC=a(或其补角) 例3.在空间四边形ABCD中,对角线AC=10,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,MN=7,求异面直线AC和BD所成的角ABCDMNP∠NPM=1200即异面直线AC和BD所成的角是600解:取AD中点P，连结MP、NPMP∥BD、NP∥ACMP=3、NP=5∠NPM就是AC和BD所成的角(或其补角)为什么？ 例4.长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1交于O1，于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解：为什么？平移法：即根据定义，以“运动”的观　点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。BDB1A1D1C1ACF1EFE1例5.长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。 定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）小结：3.求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化归的数学思想。（2）补形法化归的一般步骤是：定角求角1.异面直线及其所成的角定义;2.异面直线所成的角的范围: 4.用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的范围：（1）当cosθ＞0时，所成角为θ（2）当cosθ＜0时，所成角为π－θ（3）当cosθ=0时，所成角为90o