高中数学 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系学案设计 新人教A版必修2

第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系学习目标(1)了解空间中两条直线的位置关系;(2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力;(3)理解并掌握公理4;(4)理解并掌握等角定理;(5)异面直线所成角的定义、范围及应用.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:平面内两条直线的位置关系有哪几种?问题2:平面内不平行的两直线必相交,问空间内还成立否?二、自主探索,尝试解决六角螺母中(图1),两条路线AB,CD既不平行,又不相交(非平面问题).图2中的两条直线也是既不平行,又不相交.三、信息交流,揭示规律1.异面直线的定义:2.异面直线的画法3.空间两直线的位置关系按平面基本性质分 按公共点个数分4.异面直线所成的角①公理4:②定理(等角定理):四、运用规律,解决问题【例1】右图长方体中(1)说出以下各对线段的位置关系.①EC和BH是       直线; ②BD和FH是       直线; ③BH和DC是       直线; (2)与棱AB所在直线异面的棱共有       条. 【例2】如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线?(2)直线BA'和CC'的夹角是多少?(3)哪些棱所在直线与直线AA'垂直?【例3】如图,正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求(1)BE与CG所成的角;(2)FO与BD所成的角.五、变式演练,深化提高1.已知a,b,c是三条直线,且a∥b,a与c的夹角为θ,那么b与c夹角为    . 2.判断: (1)两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行.(  )(2)两条直线和第三条直线垂直,则这两条直线互相平行.(  )(3)两条直线和第三条直线平行,则这两条直线互相平行.(  )3.如图,已知空间四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH是什么四边形,并证明你的结论.4.如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=2,AD=2,AE=2.(1)求BC和EG所成的角.(2)求AE和BG所成的角.六、反思小结,观点提炼请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获.七、作业精选,巩固提高课本P11习题1.1A组5.课本习题2.1A组第1,2,3,4题.参考答案三、1.不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.2.画异面直线时,为了体现它们不共面的特点,常借助一个或两个平面来衬托.3.按平面基本性质分:(1)同在一个平面内:相交直线、平行直线;(2)不同在任何一个平面内:异面直线.按公共点个数分:(1)有一个公共点:相交直线;(2)无公共点:平行直线、异面直线.注1:两直线异面的判别一:两条直线既不相交又不平行. 两直线异面的判别二:两条直线不同在任何一个平面内.4.①公理4:在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.——平行线的传递性推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.②定理(等角定理):空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.异面直线所成角的定义:如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O直线a'∥a,b'∥b则把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).异面直线所成的角的范围为(0°,90°].注2:如果两条异面直线a,b所成的角为直角,我们就称这两条直线互相垂直,记为a⊥b.注3:在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等.四、【例1】(1)①相交 ②平行 ③异面 (2)4【例2】解:(1)由异面直线的定义可知,棱AD,DC,CC',DD',D'C',B'C'所在直线分别与BA'是异面直线.(2)由BB'∥CC'可知,∠B'BA'是异面直线BA'和CC'的夹角,∠B'BA'=45°,所以直线BA'和CC'的夹角为45°.(3)直线AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'分别与直线AA'垂直.【例3】解:(1)如图,∵CG∥BF,∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又△BEF中∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH,∵HD∥EA∥FB,∴HD∥FB,∴四边形HFBD为平行四边形,∴HF∥BD,∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.连接HA,AF,易得FH=HA=AF,∴△AFH为等边三角形,又依题意知O为AH中点,∴∠HFO=30°,即FO与BD所成的角为30°.注4:求异面直线的步骤是:“一作(找)二证三求”.五、1.θ2.(1)× (2)× (3)√3.解:四边形EFGH是平行四边形.证明如下:连接BD, ∵E,H分别是AB,AD的中点,∴EH是△ABD的中位线,∴EH∥BD,且EH=BD,同理,FG∥BD,且FG=BD,∴EH∥FG,且EH=FG,∴四边形EFGH是平行四边形.4.(1)45° (2)60°六、异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.空间两直线的位置关系:相交直线、平行直线、异面直线.异面直线的画法:用平面来衬托.异面直线所成的角:平移,转化为相交直线所成的角.公理4(平行公理):在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理:空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.异面直线所成角的求法:一作(找)二证三求.