2019_2020学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系限时规范训练新人教A版必修

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系【基础练习】1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是(  )A．平行或异面  B．相交或异面C．异面  D．相交【答案】B【解析】假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)．因此c与b可能相交或异面．2．如图所示，在三棱锥S－MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是(  )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【答案】A【解析】∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.3．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为(  )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直【答案】D【解析】将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D．-5- 4．下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．正确的结论有(  )A．1个  B．2个 C．3个  D．4个【答案】B【解析】对于①，这两个角也可能互补，故①错；对于②，正确；对于③，如图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角既不一定相等，也不一定互补，故③错；对于④，由公理4可知正确．故②④正确，所以正确的结论有2个．5．空间中有一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________.【答案】70°或110°【解析】∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.6．(2018年湖南张家界期末)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是________．【答案】90°【解析】设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°.-5- 7．如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．【证明】设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，∴EQ綊B1C1.∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E綊C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD綊C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊DF.又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．【能力提升】8．在空间中有四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(  )A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定【答案】D【解析】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取l1为BC，l2为CC1，l3为C1D1.满足l1⊥l2，l2⊥l3.若取l4为A1D1，则有l1∥l4；若取l4为DD1，则有l1⊥l4.因此l1与l4的位置关系不确定，故选D．9．已知异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a，b-5- 所成的角都是30°的直线有且仅有(  )A．1条   B．2条    C．3条  D．4条【答案】B【解析】过空间一点P，作a′∥a，b′∥b.由a′，b′两交线确定平面α，a′与b′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a′，b′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的左右两侧各有一条直线与a′，b′成30°的角，即与a，b成角为30°且过点P的直线有两条．在a′，b′相交另一个130°的角部分内不存在与a′，b′成30°的直线．故选B．10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．【答案】90°【解析】如图，取CN的中点K，连接MK，则MK为△CDN的中位线，∴MK∥DN.∴∠A1MK(或其补角)为异面直线A1M与DN所成的角．连接A1C1，AM.设正方体棱长为4，则A1K＝＝，MK＝DN＝＝，A1M＝＝6，∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90°.11．正三棱锥S－ABC的侧棱长与底面边长都为a，E，F分别是SC，AB的中点，求直线EF和SA所成的角．【解析】如图，取SB的中点G，连接EG，GF，SF，CF.在△SAB中，F，G分别是AB，SB的中点，∴FG∥SA，且FG＝SA.∴异面直线SA与EF所成的角就是直线EF与FG所成的角．-5- 在△SAB中，SA＝SB＝a，AF＝FB＝a，∴SF⊥AB，且SF＝a.同理可得CF⊥AB，且CF＝a.在△SFC中，SF＝CF＝a，SE＝EC，∴FE⊥SC且FE＝＝a.在△SAB中，FG是中位线，∴FG＝SA＝.在△SBC中，GE是中位线，∴GE＝BC＝.在△EGF中，FG2＋GE2＝＝FE2，∴△EGF是以∠FGE为直角的等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°.∴异面直线SA与EF所成的角为45°.-5-