空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

数学来源于生活，服务于生活，立体几何中的问题要注意联系现实生活的实物模型，这样可以把抽象的问题具体化、形象化．比如观察教室，教室墙面、地面、天花板均可抽象成平面，把日光灯所在的线段抽象成一条直线． 问题1：上述问题中日光灯管所在直线与墙面、地面、天花板有何位置关系？提示：平行或相交(垂直)．问题2：假如不小心一支铅笔掉在地面上，那么铅笔所在的直线与地面有何关系？提示：直线在平面内．问题3：上述问题1、2中直线与平面的公共点个数如何？提示：直线与平面平行，无公共点，直线与平面相交只有1个公共点，直线在平面内有无数个公共点． 直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点公共点公共点公共点无数个一个没有 位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示 观察拿在手中的两本书，我们可以想象两本书为两个平面．问题1：两本书所在的平面可以平行吗？公共点的个数是多少？提示：可以，无公共点．问题2：两本书所在的平面可以相交吗？公共点的个数是多少？提示：可以，有无数个． 两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行两平面相交有个公共点(在一条直线上)α∥βα∩β＝l没有公共点无数 1．利用公共点的个数也可以理解直线与平面的位置关系．(1)当直线与平面无公共点时，直线与平面平行．(2)当直线与平面有一个公共点时，直线与平面相交．(3)当直线与平面有两个公共点时，它们就有无数个公共点，这时直线在平面内．2．对于平面与平面的位置关系，一般不考虑平面重合． [例1]下列命题：①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．其中真命题是_______．[思路点拨]可按直线与平面位置关系的不同定义逐一判断．对于①，直线l虽然与平面α内的无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，①是假命题．对于②，∵直线a在平面α外，包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，②是假命题．对于③，∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，③是假命对于④，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，∴a与平面α内的无数条直线平行，④是真命题．④ 1．圆台的母线与圆台的底面的位置关系是()A．相交B．平行C．母线在底面内D．异面解析：圆台的母线与圆台的底面只有一个交点，故其位置关系为相交．A [一点通]空间中直线与平面只有三种位置关系：1.直线在平面内、2.直线与平面相交、3.直线与平面平行．在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断． 2.如图所示，A′B与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点，∴直线A′B在平面ABB′A′内．∵直线A′B与平面ABCD，BCC′B′都有且只有一个公共点B，∴直线A′B与平面ABCD，BCC′B′相交．∵直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′，∴直线A′B与平面ADD′A′，A′B′C′D′相交．∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点，∴直线A′B与平面DCC′D′平行．解： [例2](1)平面α内有无数条直线与平面β平行，问α∥β是否正确，为什么？(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，问α∥β是否正确，为什么？[思路点拨](1)无数条直线不能代表所有直线，结合平面与平面平行的定义，举出反例即可；(2)平面α内的所有直线与平面β都平行，结合平面与平面平行的定义即可判断．[精解详析](1)不正确．如图所示，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条：a1，a2，…，an，…，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an，…与平面β都平行(因为a1，a2，…，an，…与平面β无交点)，但此时α与β不平行，α∩β＝l.(2)正确．平面α内所有直线与平面β平行，则平面α与平面β无交点，符合平面与平面平行的定义．(1)不正确．(2)正确． [一点通]两个平面的位置关系同平面内两条直线的位置关系类似，可以从有无公共点区分：1.如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知，这两个平面相交于过这个点的一条直线；2.如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面互相平行．这样我们可以得出两个平面的位置关系：①平行——没有公共点；②相交——有且只有一条公共直线．若平面α与β平行，记作α∥β；若平面α与β相交，且交线为l，记作α∩β＝l. 3．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定解析：由分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或平行．解答本题可逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．C 4．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．46 [例3](12分)已知：直线a∥b，a∩平面α＝P.求证：直线b与平面α相交．[思路点拨]直接证不易推出时，可考虑尝试反证法，找出矛盾即可．[精解详析]如图，∵a∥b，∴a和b确定平面β，∵a∩α＝P，∴平面α和平面β相交于过P点的直线l.(4分)∵在平面β内l和两条平行直线a，b中的一条直线a相交，∴l必和b相交于Q，即b∩l＝Q，(8分)又因为b不在平面α内(若b在α内，则α和β都过两相交直线b和l，因此α和β重合，a在α内，与已知矛盾)，故直线b和平面α相交.(12分) [一点通]对于直线与平面位置关系的判定及应用，当不易直接推证时，可用反证法． 5.如图所示，A∈l，A∈α，B∉α，B∈l，求证：直线l和平面α相交．证明：由已知直线l和α有公共点A，∴直线l不平行于平面α，∴假设直线l和α不相交，则l⊂α.∵B∈l，∴B∈α.这与已知B∉α矛盾．∴直线l和平面α相交． 1．直线在平面外包括：(1)直线与平面相交，(2)直线与平面平行．2．画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，画两相交平面时，要注意被遮挡部分画成虚线．