点、直线、平面之间的位置关系

点、直线、平面之间的位置关系1.（2010·山东高考理科·Ｔ3）在空间，下列命题正确的是（）（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行【命题立意】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力.【思路点拨】可利用特殊图形进行排除.【规范解答】选D，在正方体中，但它们在底面上的投影仍平行，故A选项不正确；平面与平面都平行于直线，但平面与平面相交，故B选项不正确；平面与平面都垂直于平面，但平面与平面相交，故C选项不正确；而由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以证明选项D正确.2.（2010·浙江高考理科·Ｔ6）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）（A）若，，则（B）若，，则（C）若，，则（D）若，，则【命题立意】本题考查空间中的线线、线面位置关系，考查空间想象能力。【思路点拨】利用线面平行、线面垂直的判定定理。【规范解答】选B。如图（1），选项A不正确；如图（2），选项B正确；如图（3）选项C不正确；如图（4）选项D不正确。3.（2010·福建高考理科·Ｔ6）如图，若是长方体被平面EFCH截去几何体后得到的几何体，其中E为线段上异于的点，F为线段上异于的点，且EH//，则下列结论中不正确的是（）A.EH//FGB.四边形EFGH是矩形C.是棱柱D.是棱台【命题立意】本题考查考生对立体几何体的理解程度、空间想像能力。灵活，全面地考查了考生对知识的理解。【思路点拨】利用线线平行线线平行线面平行线线平行可以判断A的正误，进而判断其他答案。 【规范解答】选D，若FG不平行于EH，则FG与EH相交，交点必然在B1C1上，而EH平行于B1C1，矛盾，所以FG平行于EH；由面，得到，可以得到四边形EFGH为矩形，将从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C正确；D没能正确理解棱台与这个图形。【方法技巧】线线平行，线面平行，面面平行是空间中的三种重要的平行关系，他们之间可以进行相互的转化，他们之间的转化关系就是我们学习的六个判定定理和性质定理，我们要熟练掌握这些定理并利用这些定理进行转化。我们以上面的题目进行变式训练：（1）证明：//平面；（2）若分别为的中点，证明：平面//平面；(1)证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，又，，又平面，所以平面；(2)证明：分别为的中点，，又，所以平面平面；4.（2010·广东高考理科·Ｔ18）如图5，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点。平面AEC外一点F满足FB=FD=a，FE=a(1)证明：EB⊥FD；(2)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点，使得FQ=FE,FR=FB,求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。【命题立意】本题考察空间点、线、面之间的关系以及空间几何体的相关计算.【思路点拨】（1）点E为的中点，AC为直径是，又面EB⊥FD.(2)作出二面角的棱证明为所求二面角的平面角求、【规范解答】（1）证明：连结.因为是半径为a的半圆，为直径，点E为的中点，所以，在中，，在中，，所以是等腰三角形，且点是底边的中点，所以在中，，所以是，所以.由，，且，所以面又面，所以，所以平面，而平面，所以 （2）过点作，FQ=FE,FR=FB，，，与共面且与共面，为平面BED与平面RQD的棱.由（1）知，平面，平面，而平面，平面，，，是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角.在中，，，=.由余弦定理得：又由正弦定理得：，即所以平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为【方法技巧】求无棱二面角，往往需先作出二面角的棱，并证明之，然后再作（证）二面角的平面角.5.（2010·浙江高考文科·Ｔ20）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点。（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE；（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值。【命题立意】本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。【思路点拨】（1）可以在面内找一条直线与BF平行，从而证明线面平行；（2）求线面角的关键是找到对应的平面角。【规范解答】(Ⅰ)取A′D的中点G，连结GF，CE，由条件易知FG∥CD，FG=CD.BE∥CD,BE=CD.所以FG∥BE,FG=BE.故四边形BEGF为平行四边形,所以BF∥EG 因为平面，BF平面，所以BF//平面（Ⅱ）在平行四边形ABCD中，设BC=a，则AB=CD=2a,AD=AE=EB=a,连CE。因为，在△BCE中，可得CE=a,在△ADE中，可得DE=a,在△CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE,在正三角形A′DE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE.由平面A′DE⊥平面BCD,可知A′M⊥平面BCD,A′M⊥CE.取A′E的中点N，连线NM、NF，所以NF⊥DE,NF⊥A′M.因为DE交A′M于M,所以NF⊥平面A′DE,则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角.在Rt△FMN中，NF=a,MN=a,FM=a,则cos=.所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为.【方法技巧】找线面所成角时，可适当的作一条面的垂线，从而把线面角转化为线线夹角。6.（2010·陕西高考文科·Ｔ１8）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点.(Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.【命题立意】本题考查了空间几何体的的线线、线面平行及线面垂直、以及几何体的体积计算问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力。【思路点拨】（1）E，F分别是PB,PC的中点.EF∥BCEF∥AD结论；（2）EG∥PA交AB于点GBG⊥平面ABCDEG=PAV.【规范解答】(Ⅰ)在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD,∴EF∥AD,又∵AD平面PAD,EF平面PAD,∴EF∥平面PAD.(Ⅱ)连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,则EG=PA.在△PAB中，AP=AB,PAB=90°,BP=2,∴AP=AB=,EG=.∴S△ABC=AB·BC=××2=,∴VE-ABC=S△ABC·EG=××=. 7.（2010·北京高考理科·Ｔ１6）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。【命题立意】本题考查了线面平行、线面垂直及二面角的求法。一般的，运用几何法（方法一）对空间想象能力，空间运算能力要求较高，关键是寻找二面角的平面角；运用向量法（方法二）思路简单，但运算量较大，熟练掌握向量的线性运算及数量积是解决问题的关键。【思路点拨】立体几何问题一般有两种方法：几何法与向量法。几何法：（1）证明AF与面BDE内的某条线平行；（2）证明CF垂直于面BDE内的两条相交直线；（3）由第（2）问的结论，可过A作一直线与CF平行，从而垂直于面BDE，再过A和垂足向二面角A-BE-D的菱BE作垂线，找到二面角的平面角。向量法：利用三个垂直关系CE，CD，CB，建立空间直角坐标系，利用向量的平行、垂直和数量积求二面角的大小。【规范解答】方法一：（I）设AC与BD交点G。因为EF//AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF//EG，因为平面BDE，AF平面BDE，所以AF//平面BDE.(II)连接FG，，为平行四边形，又，CEFG为菱形，。在正方形ABCD中，。正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，，，又，。（III）在平面ACEF内，过A作，垂足为H，连接HB。则AH//CF。AH平面BDE，，。又面ABCD面ACEF，CEAC，面ABCD，。又，面BCE，。面ABH。。为所求的二面角A-BE-D的平面角。由得，，为锐角，。 方法二：（I）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-.则C（0，0，0），，B（0，，0），，，，所以，，.设为平面BDE的法向量，则，即，令，得，。，，又面BDE，AF//平面BDE。（II）由（I）知，所以,所以,.又因为，所以平面BDE.(III)设平面ABE的法向量,由（I）知=，，则，.即所以且令则.所以.从而。所以。因为二面角为锐角， 所以二面角的大小为.8.（2010·福建高考文科·Ｔ20）如图，在长方体ABCD–A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1,D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH//A1D1。过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G。（I）证明：AD//平面EFGH；（II）设AB=2AA1=2a。在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE–D1DCGH内的概率为p。当点E，F分别在棱A1B1,B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查函数方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。【思路点拨】第一步由线线平行得到线面平行；第二步求出（1）首先求出三棱柱的体积，并求解三棱柱的体积的最大值，然后求解圆柱的体积，利用体积比计算出几何概率。【规范解答】(I)证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，又，，又平面，所以平面；（II）设，则在长方体ABCD-A1B1C1D1的体积，几何体的体积，又，，所以当且仅当时等号成立，从而，故，当且仅当时等号成立，所以得最小值等于。【方法技巧】立体几何中的证明问题，一定要把条件写完整了，保证逻辑合理，如：本题一定要写出。9.（2010海南宁夏高考理科T18）如图，己知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD,⊥BD垂足为H,PH是四棱锥的高，E为AD中点.（Ⅰ)证明：PE⊥BC（Ⅱ）若==60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值.【命题立意】本题主要考查了利用向量法解决立体几何中求夹角证明位置关系等问题.【思路点拨】建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标进行计算.【规范解答】以为原点，分别为轴，线段的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则 （Ⅰ）设,则可得因为所以（Ⅱ）由已知条件可得设为平面的法向量则即因此可以取，由，可得所以直线与平面所成角的正弦值为10.（2010·江苏高考·Ｔ１6）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离。【命题立意】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。【思路点拨】（1）可证明BC与PC所在的某一个平面垂直；（2）点A到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的2倍。【规范解答】（1）因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。由∠BCD=900，得CD⊥BC， 又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD。因为PC平面PCD，故PC⊥BC。（2）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。【方法技巧】一个几何体无论怎样转动，其体积是不变的.如果一个几何体的底面积和高较难求解时，我们可考虑利用等体积法求解。等体积法也称等积转换或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，把底面积和高的求解转化为数量关系清晰的底面及其对应的高，减少运算量，这也是转化与化归思想在立体几何中的具体体现。本题也可利用等体积法求解：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。从而AB=2，BC=1，得的面积。由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。又PD=DC=1，所以。由PC⊥BC，BC=1，得的面积。由，，得，故点A到平面PBC的距离等于。11.（2010·辽宁高考文科·Ｔ19）如图，棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(Ⅰ)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1;（Ⅱ)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D:DC1的值. 【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】（I）先证明B1C⊥平面A1BC1.再证明平面AB1C⊥平面A1BC1;（II）利用线面平行的性质，得到DE//A1B，判断出D点是中点，从而可解【规范解答】（I）（II）【方法技巧】1、证明面面垂直，一般通过证明一个平面经过另一个平面的垂线，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线和哪个平面垂直。2、证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来，如本题中强调了A1B∩BC1＝B12.（2010·山东高考文科·Ｔ20）在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，、、分别为、、的中点，且.（1）求证：平面平面； （2）求三棱锥与四棱锥的体积之比.【命题立意】本题主要考查空间中的线面关系和面面关系.考查线面垂直，面面垂直的判定及几何体积的计算，考查了考生的识图能力，空间想象能力和逻辑思维能力.【思路点拨】(1)先证明，再由可证平面平面；（2）求三棱锥的体积关键是求点P到的距离，由可将该距离转化为点D到的距离.【规范解答】（1）证明：有已知，,所以.又BC平面ABCD，所以.因为四边形ABCD为正方形，所以.又，因此.在△中，因为分别为的中点,所以，因此.又,所以(2)因为，四边形ABCD为正方形，不妨设MA=1则PD=AD=2,所以由于,所以DA即为点P到平面MAB的距离.三棱锥所以：１：４13.（2010·天津高考文科·Ｔ１9）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.（Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值；（Ⅱ）证明CD⊥平面ABF；（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值。【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力。【思路点拨】（1）∠CED即为异面直线CE与AF所成角；（2）证明CD垂直于两条相交直线AB、FA;（3）做辅助线构造二面角的平面角。【规范解答】(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故为异面直线CE与AF所成的角.因为FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3,故cos==. 所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为.(Ⅱ)证明：过点B作BG//CD,交AD于点G，则.由,可得BGAB,从而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G为AD的中点.取EF的中点N，连接GN，则GNEF,因为BC//AD,所以BC//EF.过点N作NMEF，交BC于M，则为二面角B-EF-A的平面角。连接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.从而BCGM.由已知，可得GM平面MAB.由NG//FA,FAGM,得NGGM.在Rt△NGM中，tan,所以二面角B-EF-A的正切值为.14.（2010·广东高考文科·Ｔ18）如图4，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足平面，=.（1）证明：；（2）求点到平面的距离.【命题立意】本题考察空间点、线、面之间的关系以及空间几何体的相关计算.【思路点拨】(1),又点为的中点（2）利用求解.【规范解答】(1)平面，平面，又点为的中点，，且，、平面，平面，又平面，（2）由（1）得，，，，又点和点为线段的三等分点，，，取的中点，连接，则，又 设点到平面的距离为，由得：，即解得：即点到平面的距离为【方法技巧】立体几何中求点到平面的距离，通常用等体积法.15.（2010·湖南高考文科·Ｔ18）如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1【命题立意】以非常简单常见的长方体为载体，考查空间线线的定量和面面的定性关系。【思路点拨】异面直线所成的角关键是平移直线构成三角形，再解三角形。面面垂直的证明关键是在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面。【规范解答】(1)如图，∵C1D1∥B1A1，∴∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角.∵A1B1⊥平面BCC1B1,∴∠A1B1M=90°.而A1B1=1，，故.即异面直线A1M和C1D1所成角的正切值为.(2)由A1B1⊥平面BCC1B1，，得A1B1⊥BM①由(1)知，，又，，∴,从而BM⊥B1M，.②又A1B1∩B1M=B1，再由①，②得BM⊥平面A1B1M.而，因此平面ABM垂直平面A1B1M..【方法技巧】1、求异面直线所成的角关键是平移一条直线，或者是找一条直线和其中一条直线平行而和另一条直线相交，找直线的技巧是中点对中点，产生中位线，引出平行，也可以取连接两条异面直线的线段的中点，再把这些中点连成线段。 2、证明面面垂直关键在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面，在证明一条直线直线垂直另一个平面时常常转化为证明这条直线垂直另一个平面内两条相交直线。证明直线垂直直线常常有两种情况：一是相交垂直，常可以计算，也可以定性证明，二是异面垂直，异面垂直常转化射影垂直。即把其中一条直线放在一个平面上，找到另一条直线在这个平面上的射影，再证明一条直线垂直于射影即可。16．（2010·湖南高考理科·Ｔ4）如图5所示，在正方体E是棱的中点。（Ⅰ）求直线BE的平面所成的角的正弦值；（II）在棱上是否存在一点F，使平面证明你的结论。【命题立意】以非常简单常见的正方体为载体，考查空间线面的定性和定量关系.方法选择非常灵活，可用几何法，也可用向量法.【思路点拨】方法一：几何法.（1）定义法.（2）把线面平行转化为面面平行.方法二：向量法：坐标系法。【规范解答】方法1设正方体的棱长为1.以AB，AD，AA1为单位正交基底建立空间直角坐标系.（1）依题意，得B(1,0,0),E(0,1,,A(0,0,0),D(0,1,0).所以BE=(-1,1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，所以AD是平面ABB1A1的一个法向量.设直线BE和平面ABB1A1所成的角为即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.（2）依题意，得A1(0,0,1),BA1=(-1,0,1),BE=(-1,1,设n=(x,y,z)是平面A1BE的一个法向量，则由n·BA1=0,n·BE=0,得-x+z=0,-x+y+所以x=z,y=.取z=2,得n=(2,1,2).设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1),(0≤t≤1).又B1(1,0,1),所以B1F=(t-1,1,0).而B1FBE，于是B1F∥平面A1BE这说明在棱C1D1上存在点F（C1D1的中点），使B1F∥平面A1BE.方法2（1）取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.（2）又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1 上的射影，∠EBM为BE和平面ABB1A1所成的角.设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，于是，在Rt三角形BEM中，sin∠EBM=即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.（2）在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.事实上，分别取C1D1和CD的中点F，G，联结EG，BG，CD1，FG.因A1D1∥B1C1∥BC,且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，因此D1C∥A1B.又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.这说明A1，B，G，E共面.所以BG平面A1BE.因四边形C1CDD1与B1BCC1都为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F∥BG.而B1FBE，故B1F∥平面A1BE.【方法技巧】1、求线面角的几何法常有两种方法：一上作出线面角，二是如果线面角不便于做，常常利用等面积原理求出斜线上的一个特殊点到平面的距离.2、证明线面平行的几何法常有两种方法：一是在平面内找线，找线的依据是线面平行的性质定理，二是把线面平行的证明转化为面面平行的证明，事实上证明面面平行还是证线线平行.