空间直线、平面位置关系

第7模块第3节[知能演练]一、选择题1．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b(  )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：a，b是异面直线，直线c∥直线a.因而cb，否则，若c∥b，则a∥b与已知矛盾，因而cb.答案：C2．四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线(  )A．互不相交B．至多有两条直线相交C．三线相交于一点D．两两相交有三个交点解析：利用三角形的中位线定理可知三线交于一点．答案：C3．若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则(  )A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面解析：对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾；对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条；对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条．答案：B4．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(  )A.B. C.D.解析：连接D1C，AC，易证A1B∥D1C，∴∠AD1C即为异面直线A1B与AD1所成的角．设AB＝1，则AA1＝2，AD1＝D1C＝，AC＝，∴cos∠AD1C＝＝.∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.答案：D二、填空题5．如图所示，在三棱锥C－ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．解析：取CB中点G，连接EG、FG，∴EG∥AB，FG∥CD.∴EF与CD所成的角为∠EFG.又∵EF⊥AB，∴EF⊥EG.在Rt△EFG中，EG＝AB＝1，FG＝CD＝2， ∴sin∠EFG＝，∴∠EFG＝30°.∴EF与CD所成的角为30°.答案：30°6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)．①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体④每个面都是等边三角形的四面体⑤每个面都是直角三角形的四面体解析：分两种情况：4个顶点共面时，几何体一定是矩形；4个顶点不共面时，③④⑤都有可能．答案：①③④⑤三、解答题7．有一矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝2，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝CF＝1，如下图(1)．现在把纸片沿EF折成图(2)形状，且∠CFD＝90°.(1)求BD的距离；(2)求证：AC，BD交于一点且被该点平分．(1)解：将平面BF折起后，补成长方体AEFD－A1BCD1，则BD恰好是长方体的一条对角线．因为AE，EF，EB两两垂直，所以BD恰好是以AE、EF、EB为长、宽、高的长方体的对角线．所以BD＝＝＝.(2)证明：因为AD綊EF，EF綊BC，所以AD綊BC.所以点A、C、B、D在同一平面内，且四边形ABCD为平行四边形．所以AC、BD交于一点且被该点平分．8．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°，并加以证明． 解：设AP＝x(0≤x≤2)，利用PF与BC所成的角是60°来构建以x为元的方程，再解x就确定了点P的位置．如下图，∵ABCD是边长为的正方形，∴AC＝2.设AP＝x(0≤x≤2)，作PQ⊥AB交AB于Q，则PQ∥BC，相交直线PF与PQ所成的角是异面直线PF与BC所成的角．∵平面ABCD⊥平面ACEF，∴AF⊥AC，AF⊥平面ABCD，AF⊥PQ.∵AB∩AF＝A，∴PQ⊥平面ABF，PQ⊥FQ.要使PF与BC所成角是60°，只需使∠FPQ＝60°，即只需使PF＝2PQ，∵PQ＝AP＝x，∴只需使PF＝x.又在Rt△APF中，PF＝＝，∴x＝.∴x＝1.∴当P点是线段AC的中点时PF与BC所成的角为60°.[高考·模拟·预测]1．(2009·湖南高考)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱上到异面直线AB，CC1的距离相等的点的个数为(  )A．2B．3C．4D．5解析：由下图观察可知，正方体棱上到异面直线AB、CC1的距离相等的点为点D，B1，线段BC的中点E，线段A1D1中点F，总共4个，故选C. 答案：C2．(2009·全国Ⅰ)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为(  )A.B.C.D.解析：设棱长为2，BC的中点为D，由题意，得AD＝.在Rt△A1AD中，A1D＝＝＝1.在Rt△A1BD中，A1B＝＝.∵AA1∥CC1，∴AB与AA1所成的角∠A1AB即为AB与CC1所成的角．在△A1AB中，由余弦定理，得cos∠A1AB＝＝＝.答案：D3．(2009·全国Ⅱ)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(  )A.B. C.D.解析：如下图所示，连接A1B，因A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C，则异面直线BE与CD1所成的角即为BE与BA1所成的角．不妨设AB＝1，则AA1＝2，设∠ABE＝α，∠ABA1＝β，则sinα＝，cosα＝，sinβ＝，cosβ＝.∴cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα＝·＋·＝＝.故选C.答案：C4．(2007·上海高考)在平面上，两条直线的位置关系有相交，平行，重合三种，已知α，β是两个相交平面，空间两条直线l1，l2在α上的射影是直线s1，s2；l1，l2在β上的射影是直线t1，t2，利用s1与s2，t1与t2的位置关系写出一个总能确定l1，l2是异面直线的充分条件________．解析：当s1∥s2且t1与t2相交时，可推得l1与l2总是异面直线，当l1，l2在α内的射影s1，s2平行时，我们可断定l1与l2一定不相交，同理当l1，l2在β内的射影t1，t2相交时，也可推得l1，l2一定不平行，故l1与l2一定是异面直线．同理当t1∥t2且s1与s2相交时，也符合题意．答案：s1∥s2，且t1与t2相交；(t1∥t2，且s1与s2相交)5．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是________．解析：如下图①所示，△ABD与△BCD均为边长为1的正三角形，当△ABD与△CBD重合时，AC＝0，将△ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点再共面时，AC＝，如下图②，故AC的取值范围是0