人教a版高中数学必修2同步检测第2章2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

人教A版高中数学必修2同步检测第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系A级 基础巩固一、选择题1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β＝(  )A．60°       B．120°C．30°D．60°或120°解析：由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.答案：D2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为(  )A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，故∠B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角，故为45°.答案：B3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(  )7 人教A版高中数学必修2同步检测A．30°B．45°C．60°D．90°解析：连接BD，B1D1，D1C知△D1B1C是等边三角形，所以D1B1与B1C所成角为60°，故B1C与EF所成角也是60°答案：C4.如图，在三棱锥SABC中，与AB异面的棱为(  )A．BCB．SAC．SCD．SB解析：根据异面直线的判定定理可知AB与SC为异面直线．答案：C5．三棱锥的对角线互相垂直相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是(  )A．梯形B．矩形C．平行四边形D．正方形解析：如图所示，因为BD⊥AC，且BD＝AC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG綊EH綊BD，HG綊EF綊7 人教A版高中数学必修2同步检测AC.所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四边形EFGH为正方形．答案：D二、填空题6．在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．解析：以底边所在直线为准进行考查，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8对异面直线．答案：87．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，有下列结论：①∠BAC＝∠B′A′C′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.则一定成立的是________(填序号)．解析：因为AB∥A′B′，AC∥A′C′，所以∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°答案：③8．已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD∥BC，所以AE与AD所成的角即为AE与BC所成的角，即是∠EAD.连接DE，7 人教A版高中数学必修2同步检测在Rt△ADE中，设AD＝a，则DE＝a，AE＝＝a，故cos∠EAD＝.所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.答案：三、解答题9．如图，已知长方体的长和宽都是4cm，高是4cm.(1)求BC和A′C′所成的角的度数．(2)求AA′和BC′所成的角的度数．解：(1)在长方体中，BC∥B′C′，所以∠A′C′B′为BC与A′C′所成的角．因为A′B′＝B′C′＝4cm，∠A′B′C′＝90°，所以∠A′C′B′＝45°，所以BC和A′C′所成的角为45°.(2)在长方体中，AA′∥BB′，所以∠C′BB′为AA′与BC′所成的角．因为BB′＝4cm，B′C′＝4cm，所以∠C′BB′＝60°，所以AA′和BC′所成的角为60°.10．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB与CD成30°角，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角．解：取BD的中点G，连接EG，FG，因为E，F分别为BC，AD的中点，所以EG綊CD，GF綊AB.7 人教A版高中数学必修2同步检测所以EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角．因为AB＝CD，所以△EFG为等腰三角形．又AB与CD所成角为30°，所以∠EGF＝30°或150°.因为∠GFE就是EF与AB所成的角，所以EF与AB所成角为75°或15°.B级 能力提升1．在三棱锥ABCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是(  )A．90°B．60°C．45°D．30°解析：如图所示，因为PQ綊AC，QR綊BD，所以∠PQR为异面直线AC与BD所成的角或其补角，PQ＝2.QR＝，PR＝3，有PQ2＋QR2＝PR2.由勾股定理，得∠PQR＝90°.答案：A2.一个正方体纸盒展开后如图所示，7 人教A版高中数学必修2同步检测在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确的序号为________．解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．答案：①③3.若空间四边形ABCD的各个棱长都相等，E为BC的中点，求异面直线AE与CD所成的角的余弦值．解：取BD的中点F，连接EF，AF，又E为BC的中点，所以EF綊CD，7 人教A版高中数学必修2同步检测所以∠AEF或其补角为异面直线AE与CD所成的角，设空间四边形的棱长为a，则AE＝AF＝a，EF＝，所以cos∠AEF＝＝＝.7