数学规范训练：2.1.3、4空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系 Word版解析版

第二章2.12.1.32.1.4【基础练习】1．若a，b是异面直线且a∥平面α，则b与α的位置关系是()A．b∥αB．相交C．b⊂αD．b⊂α、相交或平行【答案】D【解析】如图所示，选D．2．直线a在平面γ外，则()A．a∥γB．a与γ至少有一个公共点C．a∩γ＝AD．a与γ至多有一个公共点【答案】D【解析】直线a在平面γ外，其包括直线a与平面γ相交或平行两层含义，故a与γ至多有一个公共点．3．有一木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行平面A′C′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，则N的值为() A．0B．1C．2D．无数【答案】B【解析】∵BC∥平面A′C′，∴BC∥B′C′.在平面A′C′上过P作EF∥B′C′，则EF∥BC，过EF，BC所确定的平面锯开即可，又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法．4．(2019年吉林通化期末)以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，CD∥AB，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误． 5．已知不重合的直线a，b和平面α.①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α.上面命题中正确的是________．(填序号)【答案】④【解析】①若a∥α，b⊂α，则a，b平行或异面；②若a∥α，b∥α，则a，b平行、相交、异面都有可能；③若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α.6．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________．【答案】①②【解析】对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－ABCD，AB∥平面DCCD，BC∥平面AADD，又AB与1111111111BC异面，而平面DCCD与平面AADD相交，故②错误．1111117．如图所示，在正方体ABCD－ABCD中，M，N分别是AB和BB的中点，求：1111111 (1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDDC的位置关系；11(4)CN所在的直线与平面CDDC的位置关系．11【解析】(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；(3)AM所在的直线与平面CDDC平行；11(4)CN所在的直线与平面CDDC相交．118．已知一条直线与一个平面平行，求证：经过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内．【解析】已知：a∥α，A∈α，A∈b，b∥a.求证：b⊂α.证明：如图，∵a∥α，A∈α，∴A∉a. ∴由A和a可确定一个平面β，则A∈β.∴α与β相交于过点A的直线．设α∩β＝c，由a∥α知a与α无公共点，而c⊂α，∴a与c无公共点．∵a⊂β，c⊂β，∴a∥c.又已知a∥b且A∈b，A∈c，∴b与c重合．∴b⊂α.【能力提升】9．对于任意的直线l和平面α，在平面α内必有直线m，使m和l()A．平行B．相交C．垂直D．异面【答案】C【解析】若l∥α，则直线l与平面α无公共点，因此，直线l与平面α内的直线无公共点，即直线l与平面α内的所有直线均不相交；若l⊂α，则直线l和平面α内的直线共面，因此，直线l与平面α内的所有直线不能是异面直线；若l∩α＝A，则直线l和平面α内的直线相交或异面．因此，直线l与平面α内的所有直线不平行．所以选项A，B，D都不正确．故选C．10．给出下列几个说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行．其中正确说法的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】①当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故①错；②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故②错；③过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条，故③错；④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个，故④对．11．下列命题正确的是________．(填序号)①如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；②若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．【答案】①③【解析】对于①，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系是相交，可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角边垂直，命题①正确；对于②，α，β也可能相交，②不正确；对于③，当a与b相交，则α与β相交与条件矛盾，③正确；对于④，当a与b重合时，a在β内，当a∥b时，a∥β， 当a与b相交时，a与β相交，④不正确．12．如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．【解析】平面ABC与β的交线与l相交．证明如下：∵AB与l不平行且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.又AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β.∴点P是平面ABC与β的一个公共点．而点C也是平面ABC与β的一个公共点且P，C是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线，即平面ABC∩β＝PC.而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交．